airisuchan

Đóng góp thêm 1 cách quen thuộc:

Đặt $\sum \frac{a + b + 3c}{3a + 3b + 2c} = A$

Đặt $\left\{\begin{matrix} 3a + 3b + 2c = z\\ 3b + 3c + 2a = x\\ 3c + 3a + 2b = y\\ \end{matrix}\right.$ (x,y,z > 0)

$\Rightarrow 3(a + b + c) = \frac{3(x + y + z)}{8}$

$c = 3(a + b + c) - (3a + 3b + 2c) = \frac{3(x + y + z)}{8} - z = \frac{3x + 3y - 5z}{8}$

Tương tự với $a$ và $b$. Thay vào $A$ suy ra:

$A = \sum \frac{7x + 7y - 9z}{8z} = \sum (\frac{7x}{8z} + \frac{7y}{8z} - \frac{9}{8})$

Đến đây áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương suy ra đpcm.

Câu 1:

Đặt $a - 1966 = x \epsilon Z; b - 2013 = y \epsilon Z \Rightarrow \frac{1}{y} = \frac{x- 1}{x}$ (*)

Ta có x,y > 1.

Vì $(x - 1,x)= (1,y)= 1$  nên $\frac{1}{y}$ và $\frac{x - 1}{x}$ đều là các phân số tối giản.

Do đó (*) $\Leftrightarrow x - 1 = 1$ và $x = y$ $\Leftrightarrow a = 1968, b = 2015$.

Làm hơi ngắn không biết có sai gì không.     

Câu III:Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ .P là điểm nằm trong tam giác.Trung trực CA,CB lần lượt cắt PA tại E,F.Đường thẳng qua E song song AC cắt tiếp tuyến tại C của (O) tại M.Đường thẳng qua F song song AB cắt tiếp tuyến tại B của (O) tại N.

1)CMR: MN tiếp xúc (O)

2) MN cắt đường tròn ngoại tiếp các $\Delta ACM,ABN$ lần lượt tại R và Q.CMR: BR và CQ cắt nhau tại 1 điểm nằm trên (O)

 

Ở đây hình như phải là trung trực CA, AB chứ không phải CA, CB.