airisuchan

Giả sử $a,b,c > 0,abc = 1$. Chứng minh các bất đẳng thức sau sử dụng bổ đề (đã c/m được):

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} + \frac{1}{y^{2} + y + 1} + \frac{1}{z^{2} + z + 1} \geq 1 \forall x,y,z > 0, xyz = 1$.

a. $\sum \frac{a + 3}{(a + 1)^{2}} \geq 3$

b. $\sum \frac{1}{(a + 1)^{3}} \geq \frac{3}{8}$

c. $\sum (\frac{a}{a^{3}+1})^{5} \leq \frac{3}{2^{5}}$

d. $\sum \frac{1}{a^{2}-a+1} \leq 3$

e. $\sum \frac{a}{a^{2}+3} \leq \frac{3}{4}$

f. $\sum \frac{1}{\sqrt{2a^{2}+6a+1}} \geq 1$

g. $\sum \frac{a}{a^{2}+a+1} \leq \sum \frac{1}{a+2}$

h. $\sum \sqrt{\frac{2}{a+1}} \leq 3$

Hơi nhiều bài (căn bản tại mình yếu BĐT :">). Hi vọng các bạn sẽ nhiệt tình tham gia.