Còn nghiệm $f(x)=cx+1$ nữaLời giải (sửa sai):
\[f\left( x \right)f\left( y \right) = f\left( {x + yf\left( x \right)} \right),\left( 1 \right)\]
Với $u, v$ bất kỳ, chọn $x,y,z$ sao cho $y = \frac{{u - x}}{{f\left( x \right)}};z = \frac{v}{{f\left( y \right)f\left( x \right)}}$. Thế vào (1), ta có:
\[\begin{array}{rcl}
f\left( x \right)f\left( y \right) &=& f\left( {x + yf\left( x \right)} \right) \\&=& f\left( u \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right)f\left( y \right)f\left( z \right) &=& f\left( u \right)f\left( z \right)\\&=& f\left( {u + zf\left( u \right)} \right)\\&=& f\left( {u + v} \right)\\f\left( x \right)f\left( y \right)f\left( z \right) &=& f\left( x \right)f\left( {y + zf\left( y \right)} \right)\\ &=&f\left( {x + \left( {y + zf\left( y \right)} \right)f\left( x \right)} \right)\\&=& f\left( {x + yf\left( x \right) + zf\left( y \right)f\left( x \right)} \right)\\&=& f\left( {u + 2v} \right)\end{array}\]
Vậy $f(a)=f(b)$ với mọi $a,b>0:2b>a>b>0$. Dễ thấy ngay $f$ là hàm hằng.
Thử lại:...
Dialga Palkia
Thống kê
- Nhóm: Thành viên
- Bài viết: 16
- Lượt xem: 2644
- Danh hiệu: Binh nhì
- Tuổi: 24 tuổi
- Ngày sinh: Tháng mười hai 10, 1999
-
Giới tính
Nữ
Công cụ người dùng
Lần ghé thăm cuối
Trong chủ đề: $f(x)f(y)=f(x+y.f(x))$
15-01-2016 - 09:30
Trong chủ đề: Đề thi và lời giải VMO 2016
09-01-2016 - 14:53
$(x;y): f(x+y+f(y))= f(x)+ay$
$(0;0): f(f(0))=f(0)$
$(-2016;1): f(-2016+1+f(1))=f(-2016)+a\Rightarrow f(-2016)=2016-a$
$(x;-2016): f(x-2016+f(-2016))=f(x)-2016a\Rightarrow f(x-a)=f(x)-2016a$
$\Rightarrow f(x-ka)=f(x)-2016ka,(k \in N)$
$(0;-a): f(-a+f(-a))=f(0)-a^2\Rightarrow f(-a+f(0)-2016a)=f(0)-a^2$
$\Rightarrow f(f(0))-2016.2017a=f(0)-a^2$
Suy ra $a=0$ hoặc $a=2016.2017$
Trong chủ đề: $ mn\cdot(f(m)-nm)\cdot(n-f(n^2))$ là số chính phương
27-07-2015 - 08:17
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thoả mãn $$ mn\cdot(f(m)-nm)\cdot(n-f(n^2))$$ là số chính phương với mọi $m,n \in \mathbb{N}$.
Nguồn: AoPS
Cho $F$ là tập số chính phương, $P$ là tập số nguyên tố lẻ.
$(m,n)$ thì $mn(f(m)-mn)(n-f(n^2))\in F$
$(1,1)$ thì $-(f(1)-1)^2 \in F\Rightarrow f(1)=1$
$(n^2,n)$ thì $n^3(f(n^2)-n^3)(n-f(n^2))\in F\Rightarrow n^3\geq f(n^2)\geq n$
$(1,n)$ thì $n(n-1)(f(n^2)-n)\in F\Rightarrow m(n-1)(mn-f(m))\in F$ nếu $f(n^2)>n$ $(*)$
$(1,2)$ thì $2(f(4)-2)\in F\Rightarrow f(4)=2$ hoặc $f(4)=4$ ( do $8\geq f(4)\geq 2$ )
Với $f(4)=2$ chứng minh quy nạp $f(n^2)=n$
Giả sử ta chứng minh được đến $f(k^2)=k$
Nếu $f((k+1)^2)>k+1$
$(k^2,k+1)$ do $(*)$ thì $k^3(k^2(k+1)-f(k^2))\in F\Rightarrow k^2+k-1\in F$ vô lí khi $k>1$
Vậy ta chứng minh được $f((k+1)^2)=k+1$ Hay ta chứng minh được hàm $f(n^2)=n$ thỏa mãn.
Với $f(4)=4$
Cho $p\in P$ giả sử $f((p+1)^2)=p+1$
$((p+1)^2,2)$ thì $4(p+1)^2(2(p+1)^2-f((p+1)^2))\in F\Rightarrow (p+1)(2(p+1)-1)\in F$ vô lí do $p+1\not \in F$
Nên $f((p+1)^2)>p+1$
Với mỗi $m$ cho một số $p\in P$ sao cho $p\not |m$
$(m,p+1)$ do $(*)$ thì $mp(m(p+1)-f(m))\in F\Rightarrow p|(m-f(m))$ do $p\not |m$
Mà do có vô số số $p$ thỏa mãn nên $m-f(m)=0$ hay ta tìm được hàm $f(m)=m$
Vậy ta có hai họ hàm thỏa $f(n^2)=n,\forall n\in \mathbb{N}^*$ và $f(n)=n,\forall \mathbb{N}^*$
@Zaraki: Lời giải của pco cũng khá hay
Trong chủ đề: $xf(y)+f\left ( xy-\dfrac{1}{f(x)}...
26-07-2015 - 15:04
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^+$ và thoả :
$$xf(y)+f\left ( xy-\dfrac{1}{f(x)} \right )=1+f(f(x^2y-1)),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$
Cho $y=0$ và $x$ sao cho $xf(0)=1+f(f(-1))$ thì $f(-\dfrac{1}{f(x)})=0$ Nên không tồn tại hàm thỏa :|
Trong chủ đề: Chứng minh $f\equiv 0$.
26-07-2015 - 14:48
Tam giác $A_1EF$ đều $\Rightarrow f(A_1)+f(E)+f(F)=0$ (1)
Mặt khác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ là lục giác đều $\Rightarrow f(A_1)+f(A_2)+f(A_3)+f(A_4)+f(A_5)+f(A_6)=0$ (6)
Cho $n$ cố định mà sao lại có lúc bằng 3 có lúc bằng 6 được. Mình nghĩ bài này nên dùng phép quay hình của lớp 10.
@Dialga Palkia :
Em gái hiểu sai đề rồi.Đề không hề nói $n$ "cố định" mà chỉ nói với mọi $n-$ giác đều $A_1A_2...A_n$ ta luôn có $f(A_1)+f(A_2)+...+f(A_n)=0$.Điều đó có nghĩa là nó đúng với bất kỳ đa giác đều nào (bao nhiêu cạnh cũng được, miễn là đa giác đều).
Chắc anh giai hiểu nhầm đề Không phải với mọi $n$ mà là với mọi $n-$ đa giác đều $A_1A_2A_3..A_n$. Nghĩa là tập hợp của các nhóm $n$ điểm có thể tạo thành đa giác đều. Có vô số đa giác như vậy. Có lẽ nên hỏi chị Kiên để làm sáng rõ đề bài
- Diễn đàn Toán học
- → Đang xem trang cá nhân: Bài viết: Dialga Palkia