LuminousVN

Giả sử một viên xúc sắc được tung 100 lần. Gọi $X_i$ là giá trị trên mặt của xúc sắc trong lần tung thứ $i$. Tính gần đúng $P\left \{ \prod_{1}^{100}X_i \leq a^{100} \right \},1<a<6$.

1/ Cho $X$ là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị 1, 2 ... Nếu $P[X=k]$ không tăng theo $k$. Chứng minh $P[X=k] \leq 2\frac{EX}{k^2}$.

2/ Cho $X$ là biến ngẫu nhiên liên tục không âm có hàm mật độ không tăng. Chứng minh $f(x) \leq 2\frac{EX}{x^2}, \forall x>0$.

* Thừa nhận bất đẳng thức sau: $P[X \geq a] \leq \frac{EX}{a}$ trong đó $X$ là biến ngẫu nhiên không âm, $a>0$.

Mọi người cho mình hỏi:
1) 2 dãy đơn điệu cùng chiều nghĩa là sao, tại sao dãy $a^2$, $b^2$, $c^2$ và dãy $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{c+a}$, $\frac{1}{a+b}$ lại đơn điệu cùng chiều? (a, b, c dương).

2) Mọi người chứng minh giúp mình BĐT hoán vị với 3 biến nhé, ghi theo kiểu nào mà thi ĐH người ta chịu chấm nha! Cám ơn.

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ tâm $O$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Gọi $D$ là giao điểm của $AI$ với $(O)$ ($D$ khác $A$). Chứng minh $\frac{DI}{DA}=\frac{BC}{AB+AC}$.

Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số sao cho số 1 có mặt tối đa 5 lần, các số 2, 3, 4 có mặt tối đa 1 lần?