nhjm nhung

Từ $ k\equiv -1(mod p)\Rightarrow k+1\equiv 0( mod p)\Rightarrow k+1=mp$

Từ $ k\equiv -1(mod p)\Rightarrow$ k chia p dư -1

nên k= mp -  1  ( với m ∈N  )

$\Rightarrow$ k + 1 = mp

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} y^3+x^2=\sqrt{64-x^2y}\\ (x^2+2)^3=y+6 \end{matrix}\right.$

 

Câu 3: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$.

 

Tìm min của $P=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}$

 

 

$\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}= \frac{x+y+z}{2}$

Mà $(x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+zx)=3$

$\Rightarrow P\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$VT = 1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc \geq 1+3\sqrt[3]{abc} + 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}+abc$   (AM-GM)

      $=(1+\sqrt[3]{abc})^{3} = VP$

Cho 3 số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: trong 3 số $(a-b)^{2}$, $(b-c)^{2}$, $(c-a)^{2}$

có ít nhất một số không vượt quá  $\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Ta có: $\sqrt{a^{2}+1}= \frac{\sqrt{3}}{4}.2\sqrt{(a^{2}+1).\frac{4}{3}}\leq \frac{\sqrt{3}}{4}.(a^{2}+\frac{7}{3})$ ( theo AM-GM)

Tương tự : $\sqrt{b^{2}+1}\leq \frac{\sqrt{3}}{4}.(b^{2}+\frac{7}{3})$

                  $\sqrt{c^{2}+1}\leq \frac{\sqrt{3}}{4}.(c^{2}+\frac{7}{3})$

Cộng theo vế: $VT \leq \frac{\sqrt{3}}{4}.(a^{2}+b^{2}+c^{2}+7)=\frac{\sqrt{3}}{4}.8=\sqrt{12}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

nhầm dấu phải không bạn ??

Chứng minh rằng nếu $2^{n}+1$ là số nguyên tố thì $n$ là lũy thừa của 2

Cho các số $a,b,c,x,y,z$ thỏa mãn $x=by+cz;y=ax+cz;z=ax+by;x+y+z\neq 0$. Chứng minh rằng : $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$

Tìm $x,y\in \mathbb{N}, x,y> 0$ để giá trị biểu thức sau là số nguyên:$A=\frac{4x^{2}+8x+3}{4xy-1}$

Cho tam giác $ABC$ không cân có 3 góc nhọn nội tiếp $(O)$. Các đường cao $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$ cắt nhau ở $H$. $A_{1}H_{1}$ cắt $AC$ tại $D, X$ là giao điểm thứ hai của $BD$ với $(O)$.

1. Chứng minh: $DX.DB=DC_{1}.DA_{1}$

2. Gọi $M$ trung điểm $AC$. Chứng minh $DH$ vuông góc với $BM$

Giải phương trình: 

1.  $\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=\frac{9}{2} \\ \frac{1}{4}+\frac{3}{2}(x+\frac{1}{y})=xy+\frac{1}{xy} \end{matrix}\right.$

2.  $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=1+y-x+xy\\ 7xy+y-x=7 \end{matrix}\right.$

Cho tam giác $ABC$, điểm $O$ nằm trong tam giác. $BO,CO$ theo thứ tự cắt $AC,AB$ tại $M,N$. Dựng các hình bình hành $OMEN,OBFC$. Chứng minh rằng $A,E,F$ thẳng hàng và $\frac{AE}{AF}=\frac{AM.AN}{AB.AC}=\frac{OM.ON}{OB.OC}$

Chứng minh rằng số dư trong phép chia của một số nguyên tố cho $30$ là 1 hoặc một số nguyên tố

Không làm mất tính tổng quát ta giả sử $x,y> 0$

Dễ thấy: $0< x< y< p \Rightarrow y-x$ không chia hết cho $p$

$2y^{2}-2x^{2}=p^{2}-p \Leftrightarrow 2(y-x)(y+x)=p(p-1)\Rightarrow x+y\vdots p$

Mà $0< x< y< p\Rightarrow x+y< 2p \Rightarrow x+y=p\Rightarrow y=p-x$

Thay vào hệ có:

$\left\{\begin{matrix} p+1=2x^{2} \\ p^{2}+1=2(p-x)^{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} p+1=2x^{2} \\ 1=p^{2}-4px+p+1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} p=2x^{2}-1 \\ p=4x-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow 2x^{2}=4x$

$\Rightarrow x=2 \Rightarrow p=7$