degeawapsh

$\lim_{n \to \infty }(\frac{n^2+n}{n^2+1})=\lim_{n \to \infty }(\frac{1+1/n}{1+1/n^2})=1$

=> $\lim_{n \to \infty }(\frac{n^2+n}{n^2+1})^{n/2}=1$

up up up

Với mọi a,b,c>0 và a+b+c=3: CMR:

$\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\g

 

Ta có: $\frac{a+2b^{2}}{a^{2}}+\frac{a+2b^{2}}{a^{2}}+\frac{a+2b^{2}}{a^{2}}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b})+2(\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}}+\frac{a^{2}}{c^{2}})\geq9$

Lại có: $(\frac{a+2b^{2}}{a^{2}}+\frac{a+2b^{2}}{a^{2}}+\frac{a+2b^{2}}{a^{2}})(\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}})\geq 9$

=>dpcm

Giải quyết bài 2 trước:

Khi n là một số nguyên tố khác 2, ta có:

$1^n + 2^n +...+(n-1)^n \equiv 1+2+...+(n-1) \equiv \frac{n(n-1)}{2} \equiv 0 (mod n)$

Vậy khi n là một số nguyên tố khác 2 thì thõa mãn đề bài. Không biết còn trương hợp nào nữa không

$25^{2010}$ có $2810$ chữ số, $12^{9002}$ có $9715$ chữ số. VÌ $12^{9002}.2$ có $9716$ chữ số nên $12^{9002}>5.10^{9714}$ Mặt khác vì $12^{9002}.2.2$ có $9716$ chữ số nên $12^{9002}.2<5.10^{9715}$ => $12^{9002}< 7.10^{9714}$. Để $12^{9002}+25^{2010}$ có $9716$ chữ số thì $25^{2010}>3.10^{9714}$(không thể). Vậy 

$12^{9002}+25^{2010}$ có $9715$