Khang Hy

Bạn, ý thứ 2 hình như ko được ổn phải không?

 

Giả sư tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài

Nếu f không là hàm hằng, khi đó tồn tại các số tự nhiên x,y sao cho f(y)-f(x)>0 và nhỏ nhất

Ta có $f(x)=\frac{xf(x)+yf(x)}{x+y}<\frac{xf(y)+yf(x)}{x+y}<\frac{xf(y)+yf(y)}{x+y}=f(y)$

Suy ra $f(x)<f(x^{2}+y^{2})<f(y)\Rightarrow 0<f(x^{2}+y^{2})-f(x)<f(y)-f(x)$ : mâu thuẫn tính nhỏ nhất 

Do đó f là hàm hằng

Thử lại thỏa!

 

Giả sư tồn tại hàm f thỏa mãn đề bài

Nếu f không là hàm hằng, khi đó tồn tại các số tự nhiên x,y sao cho f(y)-f(x)>0 và nhỏ nhất

Ta có $f(x)=\frac{xf(x)+yf(x)}{x+y}<\frac{xf(y)+yf(x)}{x+y}<\frac{xf(y)+yf(y)}{x+y}=f(y)$

Suy ra $f(x)<f(x^{2}+y^{2})<f(y)\Rightarrow 0<f(x^{2}+y^{2})-f(x)<f(y)-f(x)$ : mâu thuẫn tính nhỏ nhất 

Do đó f là hàm hằng

Thử lại thỏa!

Tìm tất cả hàm số f: Q(+)------>Q(+)

 

$f(x+1)=f(x)+1, f(x^{2})=f^{2}(x)$ với mọi x thuộc Q(+)

Từ $f(x+1)=f(x)+1$ ta chứng minh được $f(x+n)=f(x)+n$ với $x\in \mathbb{Q}^{+},n\in \mathbb{N}$

Đặt $r=\frac{p}{q}, p,q\in \mathbb{Z}^{+}$

Ta có $f^{2}(r+q)=f((r+q)^{2})$

Dùng giả thiết và cái chứng minh được ở trên rồi khai triển cái này ra, cuối cùng thu đc $f(r)=\frac{p}{q}, p,q\in \mathbb{Z}^{+}$

Thử lại

hệ này chắc là vô nghiệm rồi! bạn ạ!

có nghiệm, dùng lượng giác với bđt, mà k biết giải @@ haizz...