Khang Hy

cho các số a,b,c dương thỏa mãn ab+bc+ca=1. CMR

CodeCogsEqn.gif

ghi lại đề đi bạn ơi

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), E là 1 điểm di động trên (O). Các tiếp tuyến tại B và C thứ tự cắt AE tại M và N. CM cắt BN tại F. Chứng minh rằng EF luôn đi qua 1 điểm cố định

Tìm hàm $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn

$f(x^{3})+f(y^{3})+f(z^{3})=f(x^{3}+y^{3}+z^{3})$

Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 

$\sqrt{x^{4}+4x+m}+\sqrt[4]{x^{4}+4x+m}=6$

 

$PT\Leftrightarrow (2x+3y-z)(x-2y-z)=10$

Với $x,y$ nguyên dương thì $2x+3y-z$ và $x-2y-z$ nhận các giá trị là số nguyên là ước của $10$

Ta lại có : $(2x+3y-z)-(x-2y-z)=x+5y\geq 6$ ( vì $x,y\geq 1$ )

Nên suy ra có 2 TH

TH1: $\left\{\begin{matrix} 2x+3y-z=10 \\ x-2y-z=1 \end{matrix}\right.$

Ta có $x+5y=(2x+3y-z)-(x-2y-z)=9$

Nếu $y\geq 2\Rightarrow x+5y> 9\Rightarrow y=1,x=4,z=2$

TH2 : $\left\{\begin{matrix} 2x+3y-z=-1 \\ x-2y-z=-10 \end{matrix}\right.$

Tương tự TH1 giải được nghiệm $(x,y,z)=(4,1,12)$

Vậy .................

bạn xem lại đi bạn nhân ngược 2 cái thừa số ra đâu có giống, vì 3xyz mà

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $2x^{2}-6y^{2}+z^{2}-xy-3xyz-yz=10$

Rút gọn biểu thức

$sinx+sin2x+sin3x+...+sinnx$

ĐỀ THI TOÁN CHUYÊN THPT LÊ KHIẾT 2013-2014
Bài 1:1,5d)
1. Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{\frac{x^{2}-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{x^{2}+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}+x^{2}+1}$ với $x\geqslant 0$.
2. Chứng minh khi giá trị của m thay đổi thì các đường thẳng $(m-1)x+(2m+1)y=4m+5$ luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.
Bài 2: (1,5d)
1. Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi giảm mỗi chữ số một đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương có 4 chữ số.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^{2}+xy+y^{2}=3x+y-1$.
Bài 3:(2,5d)
1. Tìm các giá trị của m để phương trình $x^{2}+(m+2)x-m+1=0$ có 2 nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn hệ thức $\left | \frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}} \right |=\frac{3}{10}.$
2. Giải hệ phương trình $(x+1)\sqrt{x}=2\sqrt{y}$ ; $(y+1)\sqrt{y}=2\sqrt{x}$
3. Giải phương trình $3(x^{2}-6)=8(\sqrt{x^{3}-1}-3).$
Bài 4: (3,5d)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn(AB<AC) nội tiếp(O;R). Tiếp tuyến tại A của(O) cắt đường thẳng BC tại M. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
1. Chứng minh rằng $BC=2R.sin\widehat{BAC}$.
2. Điểm N chuyển động trên BC( N khác B và C). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của N lên AB, ẠC Xác định vị trí của N để độ dài EF ngắn nhất.
3. Đặt BC=a, AC=b, AB=c. Tính MA theo a,b,c.
4. Các tiếp tuyến tại B và C của(O) cắt đường thẳng MA lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng HA là tia phân giác của góc PHQ.
Bài 5:(1đ)
Trong tam giác đều có cạnh bằng 8 đặt 193 điểm phân biệt. Chứng minh tồn tại 2 điểm trong 193 điểm đã cho có khoảng cách không vượt quá $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

 

 

 

Câu 1 : (2 điểm)
1. Giải phương trình $x\sqrt{2x-2}+5x=9$

ĐK: $x\geqslant 1$
$x\sqrt{2x-2}+5x=9$
$\Leftrightarrow 2x\sqrt{2x-2}+10x=18$
$\Leftrightarrow x^{2}+2x\sqrt{2x-2}+2x-2=x^{2}-8x+16$
$\Leftrightarrow (x+\sqrt{2x-2})^{2}=(x-4)^{2}$
Đến đây bạn thì dễ hơn rồi!!!

$3(3x-2)^{2}+\frac{8x}{y}\geq 7 \Leftrightarrow 3(3x-2)^{2}+\frac{8x}{1-x}\geq 7$
$ \Leftrightarrow 3(3x-1)^2+18(1-x)+ \frac{8}{1-x} \geq 24$
Ta có
$ 3(3x-1)^2+18(1-x)+ \frac{8}{1-x} \geq 18(1-x)+ \frac{8}{1-x} \geq 2\sqrt{18.8}=24$ (Đpcm)
dấu "$=$" khi $ x= \frac{1}{3}, y=\frac{2}{3}$

sai ngay tu dong` dau` tien ban ah, sao 8x con` 8 ???

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}\geqslant a(b+c+d+e)$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}-ab-ac-ad-ae\geqslant 0$

$\Leftrightarrow b^{2}-ab+\frac{a^{2}}{4}+c^{2}-ac+\frac{a^{2}}{4}+d^{2}-ad+\frac{a^{2}}{4}+e^{2}-ae+\frac{a^{2}}{4}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow (b-\frac{a}{2})^{2}+(c-\frac{a}{2})^{2}+(d-\frac{a}{2})^{2}+(e-\frac{a}{2})^{2}\geqslant 0$ : đúng

Vậy $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}\geqslant a(b+c+d+e)$

Tỉ số giữa trung bình cộng và trung bình nhân của 2 số tự nhiên là 1 số tự nhiên. Chứng minh rằng 2 số này bằng nhau.

bạn ơi đẳng thức 1 là đẳng thức nào, đẳng thức 2 là đẳng thức nào, bạn có thể làm rõ, cụ thể đc không, mình chưa hiểu lắm, cảm ơn bạn nhiều

dang thuc 1 la $\frac{a+b}{5}=\frac{a-b}{1}$

nhan cheo len rut gon

dang thuc 2 la $\frac{a-b}{1}=\frac{ab}{12}$

ban the a=1,5b vao thi dc 1 phuong trinh 1 an b roi lam

Goi 2 so can tim la a va b (a,b khac 0)

Theo de ta co:

$\frac{a+b}{5}=\frac{a-b}{1}=\frac{ab}{12}$

Tu dang thuc dau tien suy ra a=1,5b

Thay vao dang thuc thu 2 thi se tim dc b tu do suy ra a.

Giải phương trình :

$7{x^2} + 7x = \sqrt {\frac{{4x + 9}}{{28}}} $

Mình xin góp ý cách giải khác của mình như thế này

Điều kiện: $x\geqslant \frac{-9}{4}$

$7x^{2}+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}$

$\Leftrightarrow 7x^{2}+7x=\sqrt{\frac{28x+63}{196}}=\frac{\sqrt{28x+63}}{14 }$

$\Leftrightarrow 98x^{2}+98x=\sqrt{28x+63}$

$\Leftrightarrow 196x^{2}+196x=2\sqrt{28x+63}$

$\Leftrightarrow 196x^{2}+224x+64=28x+63+2\sqrt{28x+63}+1$

$\Leftrightarrow (14x+8)^{2}=(\sqrt{28x+63}+1)^{2}$

$\Leftrightarrow 14x+8=\sqrt{28x+63}+1$ hoặc $\Leftrightarrow 14x+8=-(\sqrt{28x+63}+1)$

2 phương trình này dễ bạn tự giải nhá!!! Chúc may mắn

Bài 76: Giải phương trình nghiệm nguyên $x^3+y^3+z^3=2014^2$

Xét số dư của 1 số a nào đó bất kì cho 3 thì ta có các trường hợp

$a\equiv 0(mod3); a\equiv 1(mod3);a\equiv -1(mod3)$

$\Rightarrow a^{3}\equiv 0(mod9); a^{3}\equiv 1(mod9);a^{3}\equiv -1(mod9)$

Nên từ đó ta suy ra $\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\equiv 0(mod9)$ hoặc $\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\equiv 1(mod9)$

hoặc $\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\equiv 2(mod9)$ hoặc $\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\equiv 3(mod9)$

Mà $2014\equiv 7(mod9)\Rightarrow 2014^{2}\equiv 4(mod9)$

Do đó ta thấy 2 vế mâu thuẩn nhau

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm trên tập $\mathbb{Z}$.