Khang Hy

Cho x,y,z,u,v,t>0 thoả xy+yz+zx=1. Chứng minh ràngw giá trị nhỏ nhất của P=x^2+4y^2+uy^2+vz^2 bằng zt trong đó t là 1 nghiệm của phương trình zx^3+(u+v+t)x^2+uv=0 trong khoảng (0; căn(uv)).

Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{BAD}>90^{\circ}$. Trên các cạnh $BC$ và $CD$ lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $\widehat{MAD}=\widehat{NAB}=90^{\circ}$. Giả sử 2 đường thẳng $MN$ và $BD$ cắt nhau tại $I$. Chứng minh rằng $AI$ vuông góc với $AC$

Cho $a,b,c$ là các số dương có tổng bằng 1. Đặt $m=min( a^{3}+a^{2}bc; b^{3}+b^{2}ca;c^{3}+c^{2}ab )$. Chứng minh rằng phương trình $x^{2}+x+4m=0$ có nghiệm.

Cho 100 số $a_{1},a_{2},...,a_{100}$ thỏa $a_{1}-4a_{2}+3a_{3}\geq 0; a_{2}-4a_{3}+3a_{4}\geq 0;...; a_{100}-4a_{1}+3a_{2}\geq 0$

Tính $a_{1},a_{2},...,a_{100}$ biết $a_{1}=1$

Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c là các số nguyên thỏa điều kiện $sinA=\frac{sinB+sinC}{cosB+cosC}$. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng diện tích tam giác GAB là 1 số nguyên chẵn