Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


mathandyou

Đăng ký: 30-05-2013
Offline Đăng nhập: 12-05-2020 - 18:05
****-

#524685 Đề thi khảo sát đội tuyển toán Chuyên Yên Bái

Gửi bởi mathandyou trong 15-09-2014 - 19:16

Bài hìnhhttp://cuoichutdi.wo...rtlist-2012-g3/




#510326 Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PKL luôn đi qua điểm cố định k...

Gửi bởi mathandyou trong 02-07-2014 - 15:41

Đây là lời giải cùa một bạn trên AoPS

Gọi $X,Y$ lần lượt là trung điểm $AB,AC$.

Ta chứng minh được $ \triangle AKX\sim\triangle LAY $ sau đó chứng minh $ \triangle MXK\sim\triangle LYM $.

Từ đó

$ \angle KML=\angle (KM,XM)+\angle (MY,ML)+\angle (MY,MX)=180-\angle KXM+\angle A=180-(90+\angle A)+\angle A=90 $




#504300 CMR tồn tại một tam giác có chu vi nhỏ hơn $2013$

Gửi bởi mathandyou trong 05-06-2014 - 20:57

Cứ $3$ điểm bất kì ta có $1$ tam giác.Tô màu cạnh nhỏ nhất của các tam giác đó bằng màu đỏ.Suy ra cạnh được tô màu có độ dài nhỏ hơn $671$Ta sẽ đi chứng minh tồn tại một ta giác có $3$ cạnh màu đỏ.

Chứng minh đó bạn xem ở đây:http://cuoichutdi.wo...ai-toan-to-hop/

Ta có ngay đpcm




#492933 Toppic Các bài toán BĐT qua các kì thi olympic 30/4

Gửi bởi mathandyou trong 14-04-2014 - 20:39

Bài 3: Olympic 30-4-2014:

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :

$\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leq 1$



#491584 Korean NMO 2014

Gửi bởi mathandyou trong 09-04-2014 - 10:04

 

Ngày 2 (23/03/2014)
Câu 4
Cho tam giác cân $ABC$ có $AC=BC$. Gọi $G$ là một điểm nằm trên $BA$ sao cho $A$ nằm giữa $B$ và $D$. Gọi $(O_1)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $DAC$, $E$ là giao điểm của $(O_1)$ với $BC$. Gọi $F$ là một điểm trên $BC$ sao cho $FD$ là tiếp tuyến của $(O_1)$; gọi $(O_2)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $DBF$. Hai đường tròn $(O_1),(O_2)$ cắt nhau ở điểm thứ hai $G$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEG$. Chứng minh rằng $FG$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ khi và chỉ khi $DG \perp FO$.
 
 

Korea 2014 prb 4.jpg

Ta có:$\angle CAB=\angle DEB$ nên $\triangle DBE \sim CBA$.

Suy ra:$DB=DE$ nên $DO$ là đường trung trực của $BE$.

Ta lại có:tứ giác $DBFD$ nội tiếp và $FD$ là tiếp tuyến của $(O_1)$ nên:

$\angle EBG=\angle BDF=\angle DEG$

Suy ra: $DE$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Do đó:$ OG^2=OE^2=OM.OD\Rightarrow $ $\triangle OMG\sim \triangle OGD$

$\Rightarrow\angle OGM=\angle ODG $

Vì $ \angle OMF=90 $ nên $FG$ là tiếp tuyến của $(O)$ khi và chỉ khi: $ \angle OGF=90\iff O,M,G,F $

$ \iff\angle OFM=\angle MGO=\angle ODG\iff DF\perp OF $

Bài ngày một giông giống mà nhìn hình loằng ngoằn quá.TT

http://cuoichutdi.wo...2014-problem-4/




#490589 $abc(a+b+c) +(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 4\sqrt{3(a^2+b^2+c^2...

Gửi bởi mathandyou trong 04-04-2014 - 16:25

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh:$abc(a+b+c) +(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 4\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}abc$




#490553 Topic ôn thi HSG lớp 10 Đồng Bằng Bắc Bộ và Olympic 30-4

Gửi bởi mathandyou trong 04-04-2014 - 10:37

Ủng hộ hai bài mai thi rồi. :D

Bài 28:Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh bất đẳng thức:

$(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}) \geq \dfrac{9}{1+abc}$

Bài 29:Cho các số thực $a_1,a_2,..,a_n$ đồng thời thỏa mãn:$a_1+a_2+..+a_n \geq n$ và $a_1^2+a_2^2+..+a_n^2 \geq n^2$.

Chứng minh: $max$ {a_1,a_2,..,a_n} $\geq 2$




#487135 GPT: $2^{x^{5}}+4^{x^{4}}+256^...

Gửi bởi mathandyou trong 16-03-2014 - 11:40

Lời giải :

Theo BĐT $AM-GM$ :

$$2^{x^5}+4^{x^4}+256^4\geq 3\sqrt[3]{2^{x^5}.4^{x^4}.256^4}=3\sqrt[3]{2^{x^5+2x^4+32}}\geq 3\sqrt[3]{2^{3\sqrt[3]{x^5.2x^4.32}}}=3\sqrt[3]{2^{12.x^3}}=3.16^{x^3}$$

Dấu bằng phải xảy ra khi và chỉ khi $$\left\{\begin{matrix} 2^{x^5}=4^{x^4}=256^4\\ x^5=2x^4=32 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2$$

Nghiệm của phương trình là $x=2$

x>0 không chú?




#486654 CĐT Olympic 30-4 toán 10 (lần 3) THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai

Gửi bởi mathandyou trong 13-03-2014 - 18:49

Bài 1: $\sqrt{7x^{2}+25x+19}-\sqrt{x^{2}-2x-35}=7\sqrt{x+2} <=>(\sqrt{x^{2}-2x-35}+7\sqrt{x+2})^{2}=7x^{2}+25x+19$

$<=>3x^{2}-11x-22=7\sqrt{(x^{2}-5x-14)(x+5)}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x^{2}-5x-14=u\\ x+5=v \end{matrix}\right.$

Ta được phương trình: $3u+4v=7\sqrt{uv}<=>\left\{\begin{matrix} 3u+4v\geq 0\\ \begin{bmatrix} u=v\\ u=\frac{16}{9}v \end{bmatrix} \end{matrix}\right.$

$<=>\begin{bmatrix} x^{2}-5x-14=x+5\\ x^{2}-5x-14=\frac{16}{9}(x+5) \end{bmatrix}<=>\begin{bmatrix} x=3+2\sqrt{7}\\ x=3-2\sqrt{7} \\ x=\frac{61+\sqrt{11137}}{18} \\ x=\frac{61-\sqrt{11137}}{18} \end{bmatrix}$

Thử lại: $x=3+2\sqrt{7};x=\frac{61+\sqrt{11137}}{18}$ là nghiệm của phương trình.

Bài 3:

Đặt $\frac{x^{2}+pxy}{xy}=k=>x^{2}-kxy+py^{2}=0=>x=\frac{k\pm \sqrt{k^{2}-4p}}{2}.y$

Giả sử $\sqrt{k^{2}-4p}\epsilon \mathbb{I}=>x=i.y$ (trong đó $i\epsilon \mathbb{I}$)

Điều này vô lý vì $x,y\epsilon Z^{+}$

Vậy $\sqrt{k^{2}-4p}=m(m\epsilon Z^{+})$$=>k^{2}-4p=m^{2}=>(k+m)(k-m)=4p$

Mà $k+m;k-m$ cùng tính chẵn, lẻ và $k+m>k-m$ nên xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1: $\left\{\begin{matrix} k+m=4\\ k-m=p \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} p=2\\ k=3 \\ m=1 \end{matrix}\right.=>\begin{bmatrix} x=y\\x=2y \end{bmatrix}=>\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=3=p+1$

Trường hợp 2: $\left\{\begin{matrix} k+m=p\\k-m=4 \end{matrix}\right.=>k=\frac{p+4}{2}=>\begin{bmatrix} x=py\\ x=y \end{bmatrix}=>\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$

Trường hợp 3: $\left\{\begin{matrix} k+m=2p\\k-m=2 \end{matrix}\right.=>k=p+1=>\begin{bmatrix} x=py\\ x=y \end{bmatrix}=>\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$

Vậy $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$

Bài 4: Theo giả thiết ta có:    $f(m+f(n))=f(m)-n (1)$

Giả sử $f(a)=f(b)=>f(m+f(a))=f(m+f(b))=>f(m)-a=f(m)-b=>a=b$$=> $$f$ đơn ánh

Trong $(1)$ thay $m$ bởi $f(m)$ ta được:

$f(f(m)+f(n))=f(f(m))-n=f(0+f(m))-n=f(0)-(m+n)=f(f(m+n))=>f(m)+f(n)=f(m+n)$$=>f(n)=an$

Thay $=>f(n)=an$ vào $(1)$ ta được: $a(m+an)=am-n=>a^{2}=-1$ (vô lý)

Vậy không tồn tại $f$ thỏa

Bài 5:

Ta nhận thấy $a_{m}+a_{n}\equiv a_{m}-a_{n}\equiv a_{n}-a_{m}(mod 2)$

Vì vậy sau $k$ lần thay số thì tồng các số của dãy mới cùng tính chẵn lẻ với dãy ban đầu

Mà tồng các số của dãy ban đầu là: $1+2+3+...+2014\equiv 2029105\equiv 1(mod2)$

Suy ra sau $2013$ lần thay số thì còn lại moật số và dố đó phải là số lẻ

Vì vậy sau $2013$ lần thay số thì còn một số và số đó khác 0.

woa  :ohmy:




#484619 $ab+bc+ca=3$

Gửi bởi mathandyou trong 24-02-2014 - 18:59

Cho $a,b,c>0$ và thỏa:$ab+bc+ca=3$.Chứng minh rằng:

$$a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}}+b\sqrt{\frac{c+a}{b^2+ca}}+c\sqrt{\frac{a+b}{c^2+ab}} \leq \frac{3}{abc}$$




#484615 chọn đội dự tuyển THPT Chuyên Quốc Học ngày 2 2013-2014

Gửi bởi mathandyou trong 24-02-2014 - 18:52

Bài 2:tổng quát là định lí sivestre.Chứng minh bằng qui nạp.Cũng từng là đề thi hsg QG




#484140 Chọn đội tuyển HSG lớp 10 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2013-2014

Gửi bởi mathandyou trong 22-02-2014 - 16:46

Ôi, em làm như anh khúc đánh giá $VT>VP$ nhưng mà vì trong bài có chỗ $q+1 \vdots p^{n-1}+p^{n-2}+...+1\not{a}\vdots p$, thấy dòng này sai nên gạch luôn bài. 

 

Anh làm bài cũng tàm tạm thôi, được 4 bài nhưng mà bài PT thì quên đặt đk @@

chú thế nào chả đậu.Mà không đậu thì có sao.Anh cũng có thi cử được gì đâu.Vẫn vui vẻ.được học toán là vui rồi. :))

Chú nói đúng đấy,Không đậu nhẹ nhàng hơn.Đậu càng tốt thôi,có cơ hội học hỏi thêm.




#484129 Chọn đội tuyển HSG lớp 10 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2013-2014

Gửi bởi mathandyou trong 22-02-2014 - 15:55

Bài số:

Có lẽ đây là bài buồn cười nhất.

Từ giả thiết:$q(q+1)=p(p^{n-1}+..+p+1).$

TH1:$q \vdots (p^{n-1}+..+p+1)$ thì $q(q+1) \geq (p^{n-1}+..+p+1)((p^{n-1}+..+p+2).$

TH2:$(q+1) \vdots (p^{n-1}+..+p+1)$ thì $q(q+1) \geq (p^{n-1}+..+p+1)((p^{n-1}+..+p)$

Tất cả các TH đều thay $q(q+1)=p(p^{n-1}+..+p+1)$ đồng nhất hệ số

@@




#484107 Chọn đội tuyển HSG lớp 10 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2013-2014

Gửi bởi mathandyou trong 22-02-2014 - 12:53

Chết e rồi, quên chứng minh $x\geq 1$. Á Á á á.  :wacko:  :wacko:  :wacko:  :wacko:  :wacko:

Thôi không sao.Chú làm thế chắc đậu rồi.




#484103 Chọn đội tuyển HSG lớp 10 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2013-2014

Gửi bởi mathandyou trong 22-02-2014 - 12:39

Bài phương trình còn có 2 cách tiếp cận nữa là:

1)Dùng bđt AM-GM cho 3 số:$2,2,x-1$.(chứng minh $x-1 \geq 0$

2)Đặt ẩn đưa về hệ đối xứng.