Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


chuyentoan1998

Đăng ký: 31-05-2013
Offline Đăng nhập: 22-04-2018 - 11:37
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: $\sum \frac{a}{b}\geq \sum...

12-06-2013 - 10:03

BĐT đã cho tương đương với $(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c})+(\frac{b}{c}-\frac{b}{c+a})+(\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b})\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$

$\Leftrightarrow \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)}\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có 

$\left [ \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)} \right ]\left [ \frac{bc}{a(b+c)}+\frac{ca}{b(c+a)}+\frac{ab}{c(a+b)}\right ]\geq (\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c})^2$ 

(1)

Ta lại có 

$\left [ \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)} \right ]-\left [ \frac{bc}{a(b+c)}+\frac{ca}{b(c+a)}+\frac{ab}{c(a+b)}\right ]=\frac{1}{abc}\left [ \frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{c+a}+\frac{c^2b^2}{a+b}-\frac{b^2c^2}{b+c}-\frac{c^2a^2}{c+a}-\frac{a^2b^2}{a+b} \right ]$ 

(2)

Do $a^2b^2, a^2c^2, c^2b^2$ và $\frac{1}{a+b}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{b+c}$ là 2 dãy đơn điệu ngược chiều nhau nên áp dụng BĐT hoán vị, ta có $\frac{b^2c^2}{b+c}+\frac{c^2a^2}{c+a}+\frac{a^2b^2}{a+b}\leq \frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{c+a}+\frac{c^2b^2}{a+b}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có ngay đpcm

BĐT hoán vị là BĐT gì vậy hả bạn?Chỉ cho mình với