Đến nội dung

chuyentoan1998

chuyentoan1998

Đăng ký: 31-05-2013
Offline Đăng nhập: 22-04-2018 - 11:37
-----

Trong chủ đề: $\sum \frac{a}{b}\geq \sum...

12-06-2013 - 10:03

BĐT đã cho tương đương với $(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c})+(\frac{b}{c}-\frac{b}{c+a})+(\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b})\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$

$\Leftrightarrow \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)}\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có 

$\left [ \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)} \right ]\left [ \frac{bc}{a(b+c)}+\frac{ca}{b(c+a)}+\frac{ab}{c(a+b)}\right ]\geq (\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c})^2$ 

(1)

Ta lại có 

$\left [ \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{ba}{c(c+a)}+\frac{cb}{a(a+b)} \right ]-\left [ \frac{bc}{a(b+c)}+\frac{ca}{b(c+a)}+\frac{ab}{c(a+b)}\right ]=\frac{1}{abc}\left [ \frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{c+a}+\frac{c^2b^2}{a+b}-\frac{b^2c^2}{b+c}-\frac{c^2a^2}{c+a}-\frac{a^2b^2}{a+b} \right ]$ 

(2)

Do $a^2b^2, a^2c^2, c^2b^2$ và $\frac{1}{a+b}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{b+c}$ là 2 dãy đơn điệu ngược chiều nhau nên áp dụng BĐT hoán vị, ta có $\frac{b^2c^2}{b+c}+\frac{c^2a^2}{c+a}+\frac{a^2b^2}{a+b}\leq \frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{c+a}+\frac{c^2b^2}{a+b}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có ngay đpcm

BĐT hoán vị là BĐT gì vậy hả bạn?Chỉ cho mình với