hoaihhbg

Mình muốn xem các cách giải của các bạn khi nào không ai trả lời thì mình sẽ giải

Mình lại cứ tưởng các bạn làm hết rồi chưa cả nghĩ

Theo ý kiến của Bạn @hoanglong2k thì những bài đã có đáp án sẽ được bôi đỏ

Câu 43:Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn $(x+y)^3=(x-y-6)^2$

Từ đề bài, ta có $|x-y-6| >x+y(1)$

+Nếu $x \geq y+6$ thì từ $(1)$, ta có: x-y-6 >x+y \Rightarrow -2y-6>0 $ (vô lý vì $y>0$)

+Nếu $x<y+6$ thì từ $(1)$, ta có: $y+6-x>x+y \Rightarrow 6-2x>0 \Rightarrow x<3$, mà x nguyên dương nên $x \in$ {1;2}

Với x=1 thì y=3

Với x=2 thì không có y nguyên dương thỏa mãn

Bài 32:Cho dãy số tự nhiên 2,6,30,... được xác định như sau: số hạng thứ k bằng tích của k số nguyên tố đầu tiên. Biết rằng tồn tại hai số hạng của dãy có hiệu bằng 3000, hãy tìm số hạng đó

Lời giải:

Kí hiệu $a_{n}$ là tích n số nguyên tố đầu tiên, ta có:

$a_{1} = 2, a_{2} = 6, a_{3} = 30,.....$

Giải sử $a_{m}$ và $a_{m+k}$ là hai số thỏa mãn $a_{m+k} -a_{m}=3000.$

Ta có $a_{m+k}=a_{m} +3000 >210 = a_{4} \vdots 7.\Rightarrow a_{m+k} \vdots 7 $ .Suyra  $a_{m}=a_{m+k}-3000$   không chia hết cho 7. Do đó $1 \leq m \leq 3$

Thử lần lượt ta có m=3 thỏa mãn

P/s: mod bảo bài làm rồi sẽ có mầu đỏ sao bài 42b,45,46 mình không thấy lời giải đâu v?

Câu 38:Tìm các số nguyên dương $a,b,c$ sao cho $\frac{(ab-1)(bc-1)(ac-1)}{abc}$ là một số nguyên

Do $P=\frac{(ab-1)(bc-1)(ac-1)}{abc} =abc -a-b-c +\frac{ab+bc+ac-1}{abc}$ là số nguyên nên $\frac{ab+bc+ac-1}{abc}$ nguyên nên

$ ab+bc+ac-1 \vdots abc(*)$ khi đó $ab+bc+ac-1 \geq abc(1)$

Do a,b,c có vai trò như nhau nên ta giả sử $1 \leq a \leq b \leq c$

khi đó $ab+bc+ac-1>ab+bc+ac \geq 2ac+bc=c(3a+b)(2)$

Từ (1),(2), ta có $abc<c(2a+b) \Rightarrow ab<2a+b \leq 3b \Rightarrow a<3$, mà a nguyên dương nên a $\in$ {1;2}

+Nếu a=1 thay vào $(*)$ có $b+c+bc-1 \vdots bc \Rightarrow c+b-1 \vdots bc \Rightarrow b+c-1 \geq bc \Rightarrow (b-1)(c-1) \leq 0$, mà $c \geq b \geq 1$ nên $(b-1)(c-1) \geq 0$ khi đó (b-1)(c-1)=0

$\Rightarrow b=1$ hoặc $c=1$. thay vào P thỏa mãn.

+Nếu a=2 thay vào $(*)$ có $2b+2c+bc-1 \vdots 2bc \Rightarrow 4b+4c+2bc-2 \vdots 2bc \Rightarrow 4b+4b-2 \vdots 2bc \Rightarrow 2b+2c-1 \vdots bc \Rightarrow bc \leq 2b+2c-1 \Rightarrow (b-2)(c-2) \leq 3$ mà  $c \geq b \geq 2$ nên $(b-2)(c-2) \geq 0$ khi đó $(b-2)(c-2) \in$ {0;1;2;3} Giải ra thôi

Câu 39:Giả sử a,b là các số nguyên dương thay đổi và thỏa mãn $\frac{ab+1}{a+b}< \frac{3}{2}$.Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$P=\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$

Do a,b có vai trò như nhau nên  ta giả sử    $3 \leq a \leq b$. Ta có:$ \frac{ab+1}{a+b}\geq \frac{3b+1}{2b}>\frac{3b}{2b}=\frac{3}{2}$ (vô lý)

Khiddos  $a <3$  mà a nguyên dương: a $\in$ {1;2}

-Với a=1 thì P=1

-Với a=2 thì từ $\frac{ab+1}{a+b}< \frac{3}{2}$ có b<4 nên b $\in$ {1;2;3}

+Nếu b=1 thì P=1

+Nếu b=2 thì P=$\frac{65}{16}$

+Nếu b=3 thì P=$\frac{217}{35}$

Từ đó P max khi (a,b) $\in$ {(2,3);(3,2)}

Câu 37:Tìm $p$ nguyên tố để $2^p+p^2$ cũng là các số nguyên tố

Nếu p=2 không tm

Nếu p=3 thỏa mãn

Nếu p>3 thì  $2\equiv -1(mod3)$ do p lẻ nên $2^p \equiv -1(mod3)$, mà $p^2\equiv1(mod3)$(do p nguyên tố)

nên $2^p + p^2$ $\vdots$ 3 (không thỏa mãn)

Làm tiếp cho TOPIC sôi nổi nào

Bài 32: Cho dãy số tự nhiên 2,6,30,... được xác định như sau: số hạng thứ k bằng tích của k số nguyên tố đầu tiên. Biết rằng tồn tại hai số hạng của dãy có hiệu bằng 3000, hãy tìm số hạng đó

Bài 33: Giải phương trình: $ \frac{x^2}{(x+2)^2}=3x^2-6x-3$

Bài 31:Tìm các số nguyên $x,y,z$ thỏa mãn:$ \left\{\begin{matrix} \sqrt{2x}.y^2-x^4\geq 7 (1)& \\ \sqrt{-x^2y^2+8xy+9}-\sqrt{x^2-4}=2\left ( x+\frac{1}{x} \right )& \end{matrix}\right.(2)$

ĐKXĐ: $ -1\leq xy\leq 9$; $ x\geq 2$

PT $(2):$ $ \sqrt{-x^2y^2+8xy+9}\leq\sqrt{25}=5$ $ - \sqrt{x^2-4}\leq 0$ $\Rightarrow VP \leq 5$

nên $2\left ( x+\frac{1}{x} \right )\leq5$

$ (x-2)(2x-1)\leq0\Leftrightarrow2x-1\leq 0$ khi đó $x=2$ và $y=2.$ Thay vào $(1)$ ta có z $\in${-1;0;1}

Bài 30: Giải bất phương trình:$ \sqrt[3]{25x(2x^2+9)}\geq 4x+\frac{3}{x}$

Bài 31:Tìm các số nguyên $x,y,z$ thỏa mãn:$ \left\{\begin{matrix} \sqrt{2x}.y^2-x^4\geq 7 & \\ \sqrt{-x^2y^2+8xy+9}-\sqrt{x^2-4}=2\left ( x+\frac{1}{x} \right )& \end{matrix}\right.$

P/s: Mod ơi! những bài chưa có lời giải mod nên thống nhất lại và nếu không có ai giải dc mó nên hd cho mọi người nhé và tầm 50 bài thì mình nên tổng kết một lần chứ nhiều bài mình thấy chưa có ai làm hết trơn

Câu 19:Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của $x^3$ là một số nguyên dương và biết f(5)-f(3)=2010.Chứng minh rằng:f(7)-f(1) là hợp số

Giả sử $f(x)= ax^3 + bx^2 +cx+d (a \in N^*)$

Khi đó $f(5)-f(3)= 98a +16b + 2c=2010$

Ta có $f(7)-f(1)=342a+48b+6c=342a+3(16b+2c)=343a+3(2010-98a)=48 a+6030 \vdots 3$

mà $48a+6030 >3$ nên ta có đpcm

Câu 18:Cho trước số hữu tỉ m sao cho $\sqrt[3]{m}$ là số vô tỉ.Tìm các số hữu tỉ a,b,c sao cho $a\sqrt[3]{m^2}+b\sqrt[3]{m}+c=0$

$a\sqrt[3]{m^2} +b\sqrt[3]{m}+c=0 \Leftrightarrow ab\sqrt[3]{m^2}+b^2\sqrt[3]{m}+bc=0(1)$

$a\sqrt[3]{m^2} +b\sqrt[3]{m}+c=0 \Leftrightarrow a^2m+ab\sqrt[3]{m^2}+ac\sqrt[3]{m} (2)$ 

Từ $(1),(2)$ $\Rightarrow \sqrt[3]{m}(b^2-ac)=a^2m-bc$

$+)$ Nếu $b^2-ac\neq 0$ $\Rightarrow\sqrt[3]{m}= \frac{a^2m-bc}{b^2-ac} \in Q$(vô lý)

$+)$ Nếu $b^2-ac=0$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^2-ac=0 & \\ a^2m-bc=0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b^2=ac & \\ a^2m=bc & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} abc=b^3 & \\ a^3m=b^3& \end{matrix}\right.$

với $a=0$ thì $b=c=0$

với $a\neq 0$ thì $\sqrt[3]{m}= \frac{b^3}{a^3} \in Q$(vô lý)

chỗ $b^{2}\vdots d$ ý

vì $ (a-b)(a+b+1)=b^2$, d là ước nguyên tố của a-b,a+b+1 nên có $ b^2\vdots d$

Ta có : $a+2b+3=a+b+b+1+2 \geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{b}+2=2(\sqrt{ab}+\sqrt{b}+1)$

Khi đó, BT $\leq  \frac{1}{2}\left (\frac{ 1}{\sqrt{ab}+\sqrt{b}+1}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{c}+1}+\frac{1}{\sqrt{ac}+\sqrt{a}+1}\right )$

Dễ dàng chứng minh dc $\left (\frac{ 1}{\sqrt{ab}+\sqrt{b}+1}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{c}+1}+\frac{1}{\sqrt{ac}+\sqrt{a}+1}\right )=1(do abc=1)$

Khi đó, BT $\leq  \frac{1}{2}$

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1

phương trình đã cho dc viết lại như sau:

$ x^2-4ax+4a^2=-x^2+\frac{11}{2}x-7\Leftrightarrow (x-2a)^2=(2-x)(x-\frac{7}{2})$

Nếu phương trình có nghiệm nguyên x thì x luôn thỏa mãn $(2-x)(x-\frac{7}{2}) \geq 0 \Leftrightarrow 2\leq x\leq \frac{7}{2}$

Từ đó, có $x=2$ hoặc $x=3$

$+) x=2$ là nghiệm thì $a=1$

$+) x=3$ là nghiệm thì $a=\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$

vậy....

$2\left ( x^{2}-2x+4 \right )-2mx-4m-3\sqrt{x^{3}+8}=0$

$\Leftrightarrow$$2(x^{2}-2x+4)-2m(x+2)-3\sqrt{\left ( x+2 \right )(x^{2}-2x+4)}= 0$

Đặt $x^{2}-2x+4=a;x+2=b \Leftrightarrow 2a^{2}-3ab-2mb^{2}=0$

Để pt có nghiệm thì :

$\bigtriangleup = 9b^{2}-16mb^{2}\geq 0 \Leftrightarrow b^{2}(9-16m)\geq 0 \Leftrightarrow m\leq \frac{9}{16}$

Phải thêm điều kiện có ít nhất một nghiệm a không âm nhé vì a là bình phương mà

$2x^{2}-2mx+m^{2}-2=0$ (1)

Giả sử phương trình có 2 nghiệm ko âm. Tìm m để nghiệm dương của phương trình max

Pt $(1)$ có 2 nghiệm $x_{1},x_{2}$ không âm khi $ \sqrt{2}\leq m\leq 2$

Giả sử $x_{1}\geq x_{2}\geq 0$. Theo $Vi-et$ ta có:

$ \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=m & \\ x_{1}x_{2}=m^2-2& \end{matrix}\right.$

$ \left\{\begin{matrix} x_{2}=m-x_{1} & \\ x_{1}(m-x_{1})=m^2-2(2)& \end{matrix}\right.$

Xét $PT(2):$ mx_{1} -x_{1}^2=m^2-2 $$ m^2 -mx_{1}+x_{1}^2-2=0(3)$

$PT(2)$ có nghiệm khi (3) có nghiệm thỏa mãn$ \sqrt{2}\leq m\leq 2$

Đến đây chắc là giải đk thôi, ta chả nhớ nên ...