sasuke4598

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2x}+\frac{x}{y}=\frac{3(x+\sqrt{y})}{2(2x^2+y)} \\ 4x+y=\sqrt{2x+6}-2\sqrt{y} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(2x^2+y)^2=3xy(x+\sqrt{y}) (1)\\ 4x+y=\sqrt{2x+6}-2\sqrt{y} (2)\end{matrix}\right.\\$

Chia cả 2 vế PT (1) cho $x^2y$ ;  PT trở thành:

$(1)\Leftrightarrow (2\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{x})^2=3(1+\frac{\sqrt{y}}{x})\\ $

Đặt $\frac{\sqrt{y}}{x}=t$

$\Leftrightarrow (\frac{2}{t}+t)^2=3(1+t)\\$

Giải ra được: $t=2\Rightarrow 2x=z$.  Đặt $z=\sqrt{y}$; $(z>0)$ thay vào PT (2) :

$(2)\Leftrightarrow 2z+z^2=\sqrt{z+6}-2z \\$

Đặt $r=\sqrt{z+6}$ PT thành: $r^4-8r^2-r+12=0$

VT PT có thể phân tích thành: $r^4-8r^2-r+12=(r^2+ar+b)(r^2-ar+c)$

Đồng nhất hệ số ta có: $a=1;b=-3;c=-4$

Từ đó giải ra $r\rightarrow x; y$

Đa thức hóa dãy trên thì được $x_n=1+\dfrac{n(n-1)(n+1)}{6}+\dfrac{n(n-1)}{2}\in\mathbb Z$

Dễ dàng kiểm tra điều trên bằng quy nạp

Đa thức hóa nhu thế nào ak?=]]

CM gì vậy bạn!

Đã sửa đề !

$\sqrt{1+x^2}\leqslant \frac{x^2+3}{2\sqrt{2}} \rightarrow P\leqslant\frac{x^2+y^2+z^2+9}{2\sqrt{2}(x^2+y^2+z^2)}=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{9}{2\sqrt{2}(x^2+y^2+z^2)}$

Mà $x^2+y^2+z^2\geqslant 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3$

Suy ra: $P\leqslant\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{9}{6\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=1$

$A=\frac{x+2}{3}+\frac{12}{5(x+2)}-\frac{2}{3}\geqslant \frac{4}{\sqrt{5}}-\frac{2}{3}=\frac{12\sqrt{5}-10}{15}$

Dấu bằng khi: $\frac{x+2}{3}=\frac{12}{5(x+2)}$