nhatlinh3005

Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$

Đề của 

DucHuyen1604

Ta có:

$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}+\frac{1}{9t}$

$= \frac{xyzt}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{yz+zt+ty}{9yzt}$     (với xyzt=1)

$= \frac{yzt}{x^2(yz+zt+ty)}+\frac{yz+zt+ty}{9yzt}\geq 2\sqrt{\frac{1}{9x^2}}$    =$\frac{2}{3x}$         (theo BĐTCô-si)

$\Leftrightarrow \frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}\geq \frac{2}{3x}-(\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}+\frac{1}{9t})$

Tương tự ta có:

$\Leftrightarrow \frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}\geq \frac{2}{3y}-(\frac{1}{9x}+\frac{1}{9z}+\frac{1}{9t})$

$\Leftrightarrow \frac{1}{z^3(yx+zt+tx)}\geq \frac{2}{3z}-(\frac{1}{9y}+\frac{1}{9x}+\frac{1}{9t})$

$\Leftrightarrow \frac{1}{t^3(yz+zx+xy)}\geq \frac{2}{3t}-(\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}+\frac{1}{9x})$

Khi đó:

$ \frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq (\frac{2}{3x}+\frac{2}{3y}+\frac{2}{3z} +\frac{2}{3t})-(\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{3z}+\frac{1}{3t})$$= \frac{1}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})\geq \frac{4}{3}\sqrt[4]{\frac{1}{xyzt}}=\frac{4}{3}$

vậy $\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$

Giải phương trình:

$\sqrt{x^2+x-6}+3\sqrt{x-1}=\sqrt{3x^2-6x+19}$

Đề của 

vuminhhoang

Điều kiện:$\left\{\begin{matrix} x^{2}+x-6\geq 0 & & \\ x-1\geq 0 & & \\ 3x^{2}-6x+19\geq 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq -3 hoặc x\geq 2 & & \\ x\geq 1 & & \\ \forall x\in \mathbb{R} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x\geq 2$

Bình phương 2 vế của phương trình ta được:

$\sqrt{x^2+x-6}+3\sqrt{x-1}=\sqrt{3x^2-6x+19}$

$\Leftrightarrow 6\sqrt{(x-1)(x^{2}+x-6)}=2x^{2}-16x+34$

$\Leftrightarrow 6\sqrt{(x-1)(x+3)(x-2)}=2x^{2}-16x+34$

$\Leftrightarrow 6\sqrt{(x^{2}+2x-3)(x-2)}=2x^{2}-16x+34$

$\Leftrightarrow 6\sqrt{(x^{2}+2x-3)(x-2)}=2(x^{2}+2x-3)-20(x-2)$     (1)

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=x^{2}+2x-3 & & \\ v=x-2 & & \end{matrix}\right. (u,v\geq 0)$

Khi đó phương trình (1) trở thành:

$6\sqrt{u.v}=2u-20v$ $\Leftrightarrow 2u-6\sqrt{u.v}-20v=0$(2)

Vì v=0 không phải là nghiệm của phương trình (2) nên ta chia 2 vế của phương trình (2) cho v, ta được:

$\Leftrightarrow 2\frac{u}{v}-6\sqrt{\frac{u}{v}}-20=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{u}{v}}=-2$ hoặc   $\sqrt{\frac{u}{v}}=5 $

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{u}{v}}=5\Leftrightarrow x^{2}+2x-3=25(x-2)$

$\Leftrightarrow x^{2}-23x+47=0$

$\Leftrightarrow \frac{23+\sqrt{341}}{2}$ hoặc$ \frac{23-\sqrt{341}}{2}$

đối chiếu điều kiện các giá trị x thoả.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm:$\frac{23+\sqrt{341}}{2}$ hoặc$ \frac{23-\sqrt{341}}{2}$

$\boxed{Điểm: 10}$

cho em hỏi sao chưa có bảng xếp thứ hạng sau trận 4 ạ!

Tổng số cách xếp 12 người vào 1 hàng dọc là: N=12!(cách ).

Gọi A là biến cố: "xếp 12 người  thành 1 hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam"

khi đó biến cố đối của A là biến cố B:"xếp 12 người thành 1 hàng dọc sao cho có ít nhất 2 người nữ đứng cạnh nhau".

*Số phần tử của B :

+Nếu ghép 2 bạn nữ lại thành 1 thì sẽ có 11(cách) chọn vị trí .

+Còn lại 10 bạn xếp vào 10 chỗ có 10!(cách).

+Tiếp tục hoán vị chỗ của 2 bạn nữ trên ta có 2!(cách).

-Do đó n(B)=11.10!.2!=11!.2!(cách)

Vì A và B là 2 biến cố đối nên:

n(A)=N-n(B)=12!-11!.2!=11!.10(cách).

Vậy có 11!.10(cách) xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 năm thành 1 hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam.

*Em học phần này hơi kém mong mọi người góp ý cho lời giải của em! Em xin cảm ơn!!!      

 

Sao không ai nhận xét bài này?!?!?!?!

Tổng số cách xếp 12 người vào 1 hàng dọc là: N=12!(cách ).

Gọi A là biến cố: "xếp 12 người  thành 1 hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam"

khi đó biến cố đối của A là biến cố B:"xếp 12 người thành 1 hàng dọc sao cho có ít nhất 2 người nữ đứng cạnh nhau".

*Số phần tử của B :

+Nếu ghép 2 bạn nữ lại thành 1 thì sẽ có 11(cách) chọn vị trí .

+Còn lại 10 bạn xếp vào 10 chỗ có 10!(cách).

+Tiếp tục hoán vị chỗ của 2 bạn nữ trên ta có 2!(cách).

-Do đó n(B)=11.10!.2!=11!.2!(cách)

Vì A và B là 2 biến cố đối nên:

n(A)=N-n(B)=12!-11!.2!=11!.10(cách).

Vậy có 11!.10(cách) xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 năm thành 1 hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam.

*Em học phần này hơi kém mong mọi người góp ý cho lời giải của em! Em xin cảm ơn!!!