nhatlinh3005

Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$

Đề của 

DucHuyen1604

Ta có:

$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}+\frac{1}{9t}$

$= \frac{xyzt}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{yz+zt+ty}{9yzt}$     (với xyzt=1)

$= \frac{yzt}{x^2(yz+zt+ty)}+\frac{yz+zt+ty}{9yzt}\geq 2\sqrt{\frac{1}{9x^2}}$    =$\frac{2}{3x}$         (theo BĐTCô-si)

$\Leftrightarrow \frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}\geq \frac{2}{3x}-(\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}+\frac{1}{9t})$

Tương tự ta có:

$\Leftrightarrow \frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}\geq \frac{2}{3y}-(\frac{1}{9x}+\frac{1}{9z}+\frac{1}{9t})$

$\Leftrightarrow \frac{1}{z^3(yx+zt+tx)}\geq \frac{2}{3z}-(\frac{1}{9y}+\frac{1}{9x}+\frac{1}{9t})$

$\Leftrightarrow \frac{1}{t^3(yz+zx+xy)}\geq \frac{2}{3t}-(\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}+\frac{1}{9x})$

Khi đó:

$ \frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq (\frac{2}{3x}+\frac{2}{3y}+\frac{2}{3z} +\frac{2}{3t})-(\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{3z}+\frac{1}{3t})$$= \frac{1}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})\geq \frac{4}{3}\sqrt[4]{\frac{1}{xyzt}}=\frac{4}{3}$

vậy $\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$

 Đề Bài

 

Giải phương trình lượng giác sau :

$$\sin 4x + 2=\cos 3x + 4\sin x+\cos x$$

Toán thủ ra đề: hoangkkk

Ta có:

    $\sin 4x + 2=\cos 3x + 4\sin x+\cos x$

$\Leftrightarrow sin4x+2-cos3x-4sinx-cosx=0$

$\Leftrightarrow 2sin2xcos2x+2-(4cos^{3}x-3cosx)-4sinx-cosx=0$

$\Leftrightarrow 4sinxcosx(2cos^{2}x-1)-4cos^{3}x+2cosx-4sinx+2=0 $

$\Leftrightarrow (8sinxcos^{3}x-4cos^{3}x)+(2cosx-4sinxcosx)+(2-4sinx)=0$

$\Leftrightarrow 4cos^{3}x(2sinx-1)-2cosx(2sinx-1)-2(2sinx-1)=0$

$\Leftrightarrow (2sinx-1)(4cos^{3}x-2cosx-2)=0$

 

 Với          $2sinx-1=0\Leftrightarrow sinx=\frac{1}{2}$

           $\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi,k\in Z$     hoặc       $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi,k\in Z$

Với           $(4cos^{3}x-2cosx-2)=0$

           $\Leftrightarrow (cosx-1)(4cos^{2}x+4cosx+2)=0$

                       * $cosx-1=0$  $\Leftrightarrow cosx=1$   $\Leftrightarrow x=k2\pi,k\in Z$

                       * $(4cos^{2}x+4cosx+2)=0$      (Vô nghiệm,$\Delta < 0$)

Vậy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm:

$x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ ,   $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$ ,   $ x=k2\pi$ ,  $k\in Z$

 

$\boxed{\text{Điểm bài thi}:10}$

S=16.3+3*10 = 46.3

Lần trước em đã đăng kí với tên Nhật Linh nhưng không biết tại sao lại không có tên trong danh sách mà cũng không có lí do ban tổ chức không nhận em. Rât mong ban tổ chức xem xét lại giúp em! 

 

 

OK, BTC có sự nhầm lẫn., BTC sẽ cập nhật lại danh sách vào ngày 18/8 tới