JokerDinoTienTien

Cho $\left\{\begin{matrix} U_{1}> 0 & \\ 2011U_{n}-2000U_{n-1}=\frac{2012^{2011}}{U_{n-1}^{2010}} & \end{matrix}\right.$
Tìm lim Un

giải hệ phương trình :
1. $\left\{\begin{matrix}x^{4}+2x^{3}y+x^{2}y^{2}=2x+9 & \\ x^{2}+2xy=6x+6 & \end{matrix}\right.$ 

Cho $\bigtriangleup$ABC . E và F là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tâm I với các cạnh AC , AB . M là trung điểm BC . AM giao EF tại N . Đường tròn tâm M đường kính BC cắt BI và CI tại X và Y ( Khác B và C ) . Chứng minh $\frac{NX}{NY}= \frac{AC}{AB}$

Cho $\bigtriangleup ABC$ ngoại tiếp (I) . D , E , F là tiếp điểm của (I) với BC , CA , AB . (I) giao AD tại M . N là giao điểm của (CDM) với AF . AB giao CN tại G . Chứng minh CD=3FG
giup e vs )

Giúp e bài này với :
Bài 1 : Cho $\bigtriangleup$ABC nội tiếp (O) . E là một điểm trên đường tròn . EA cắt các tiếp tuyến tại B và C của (O) tại M và N . CM giao BN tại F . Chứng minh EF luôn đi qua 1 điểm cố định 
Bài 2 : Cho lục giác ABCDEF nội tiếp . $AC\cap BF = M , BD\cap CA=N , BD\cap CE=P , CE\cap DF = Q , DF\cap EA=R,EA\cap BF=S $ . Chứng minh MQ , NR , PS đồng quy
( Sử dụng phép chiếu xuyên tâm và hàng/chùm điều hòa )

A$= 1 + \frac{cosa}{cosa} + \frac{cos2a}{cos^{2}a}+\frac{cos3a}{cos^{3}a} + ... + \frac{coska}{cos^{k}a}$
B$= \frac{1}{sina} + \frac{1}{sin2a} + \frac{1}{sin2^{2}a} + \frac{1}{sin2^{3}a} + ... + \frac{1}{sin2^{n}a}$

  ( bằng phương pháp sai phân )

Bài 2 : Chia 2 vế cho $n^{n}$

Ta đưa về chứng minh quy nạp cho bất đẳng thức $n\geq (1+\frac{1}{n})^{n}$ với n > 2

Với n = 3 hiển nhiên đúng 

Ta giả sử  $k\geq (1+\frac{1}{k})^{k}$

Ta chứng minh $k+1\geq (1+\frac{1}{k+1})^{k+1}$

Đây là phép nhân trực tiếp 2 bất đẳng thức $k\geq (1+\frac{1}{k+1})^{k}$

Và $1+\frac{1}{k+1}< 1+\frac{1}{k}$

Nhân cả 2 vế với nhau ta có ngay điều phải chứng minh .

Cho mình hỏi chút kinh nghiệm vs , sao lại nghĩ đc là chia cho n mũ n vậy

Áp dụng BĐT AM-MG : $a^{4} + \sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}} \geq a$ 
$\Rightarrow a - a^{4} \leq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}} \Rightarrow a(1-a^{3}) \leq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}$$\Rightarrow \frac{a^{3}}{a(1-a^{3})} \geq \frac{a^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}} \Rightarrow \frac{a^{2}}{1-a^{3}} \geq \frac{a^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}$ 
Ta có : $\frac{a^{2}}{b^{3}+2c^{3}} = \frac{a^{2}}{1-a^{3}} \geq \frac{a^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}$ (1)
Chứng minh tương tự : $\frac{b^{2}}{a^{3}+2c^{3}} \geq \frac{b^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}$  (2)
                                     $\frac{2c^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}} \geq \frac{2c^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}}$   (3)
(1)(2)(3) $\Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{3}+2c^{3}}+\frac{b^{2}}{a^{3}+2c^{3}} + \frac{2c^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}} \geq \frac{a^{3}+b^{3}+2c^{3}}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{\frac{1}{4^{4}}}} = \frac{1}{\frac{3}{4\sqrt[3]{4}}} = 4.\frac{\sqrt[3]{4}}{3}$ ( ĐPCM )
Dấu đẳng thức $\Leftrightarrow a= b= c= \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Mất điện hay sao mà tối om hả bạn

Thi ở trường Nguyễn Trãi bị mất điện 

Hình như bạn vẽ hình sai rồi , M thuộc cung nhỏ IB mà hình thuộc cung lớn kìa

Từ N hạ NT $\perp$ BM tại T . Dễ dàng cm Cung AM = Cung AN suy ra $\angle$AMN=$\angle$MCE suy ra AM là tiếp tuyến $\triangle$MCE suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle$CME thuộc BM vì BM $\perp$ AM . Khoảng Cách nhỏ nhất từ N đến tâm đó nhỏ nhất suy ra T là tâm đó vì NT là khoảng cách nhỏ nhất từ N đến BM ( NT$\perp$BM) . từ đó ta có cách vẽ điểm C : Từ T hạ TK $\perp$ MN , Lấy E' sao cho K là trung điểm ME' , Nối AE' cắt đường tròn tại C' . C' là điểm cần dựng 

Xét $\triangle$ ANC và $\triangle$ CBE có : AC=BE ($\triangle$ ACE vuông cân) , $\angle$ACN=$\angle$CEB (Cùng phụ $\angle$NCE) , $\angle$CAN=$\angle$ECB ( Do $\angle$ANC=$\angle$CBE vì cùng phụ $\angle$ NCB) suy ra $\triangle$ ANC = $\triangle$ CBE suy ra ĐPCM