Phuong Thu Quoc

$\begin{vmatrix} 3& 2& 0& ...& 0& 0\\ 1& 3& 2& ...& 0& 0\\ 0& 1& 3& ...& 0& 0\\ ...& & & & & \\ 0& 0& 0& ...& 3& 2\\ 0& 0& 0& ...& 1& 3\end{vmatrix}$

Khai triển theo hàng 1 được $D_{n}=3D_{n-1}-2\begin{vmatrix} 1 &2 &0 &... &0 \\ 0 &3 &2 &... &0 \\ ... &... &... & ... &... \\ 0 &0 &0 & 1 &3 \end{vmatrix}=3D_{n-2}-2D_{n-2}$

Đến đây tìm ra công thức của $D_{n}$

1/ Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp $n$

Chứng minh nếu $AB-A^{T}B=E$ thì $n$ là số chẵn

2/ Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp $n$ lẻ và $AB^{T}+A^{T}B=0$. Chứng minh $A$ hoặc $B$ suy biến

Cho $A,B$ là 2 ma trận vuông cấp $n$ và $A^{2}+B^{2}=AB$

Chứng minh nếu $BA-AB$ khả đảo thì $n$ là bội của 3

Tìm $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{x}$

giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{x^3+y+1}+\sqrt{\frac{4y+3}{3}}=3x+2\\ \frac{y}{x+1}+\frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{3}}=\frac{3(x+1)}{y}+\frac{3\sqrt3}{\sqrt{2x+1}} \end{matrix}\right.$

Ta có $\sqrt[3]{x^{3}+y+1}-\left ( x+1 \right )+\sqrt{\frac{4y+3}{3}}-\left ( 2x+1 \right )=0\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow y=3x^{2}+3x=3x\left ( x+1 \right )$

Thay vào $3x+\sqrt{\frac{2x+1}{3}}=\frac{1}{x}+3\sqrt{\frac{3}{2x+1}}$

$\left ( 3x;\sqrt{\frac{2x+1}{3}} \right )=\left ( u;v \right )$

$u+v=\frac{3}{u}+\frac{3}{y}\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} u+v=0 & \\ uv=3 & \end{matrix} \right ]$

$\Rightarrow \left [ \begin{matrix} 3x+\sqrt{\frac{2x+1}{3}}=0 & \\ 3x.\sqrt{\frac{2x+1}{3}}=3& \end{matrix} \right ]\Leftrightarrow x=...$

Đề thi HSG Quốc gia 2005

Một lời giải mình sưu tầm được:

Gọi $T,L,V,S$ là tập hợp các học sinh giỏi Toán, Lí, Văn, Sử

Ta có $\left | T\cap L \right |> \frac{2}{3}\left | T \right |,\left | L\cap V \right |> \frac{2}{3}\left | L \right |,\left | V\cap S \right |> \frac{2}{3}\left | V \right |,\left | S\cap T \right |> \frac{2}{3}\left | S \right |$

Giả sử không có học sinh nào giỏi cả 4 môn, khi đó $\left | T\cap V \right |=\varnothing ,\left | L\cap S \right |=\varnothing$

Ta chỉ xét trường hợp đầu, trường hợp còn lại tương tự .

Có $\left ( T\cap L \right )\cap \left ( L\cap V \right )=\varnothing,\left ( T\cap S \right )\cap \left ( S\cap V \right )=\varnothing$

Mà $\left ( T\cap L \right )\cap \left ( L\cap V \right )\subset L,\left ( T\cap S \right )\cap \left ( S\cap V \right )\subset S$

$\Rightarrow \left | \left ( T\cap L \right )+ \left ( L\cap V \right ) \right |\leq \left | L \right |,\left | \left ( T\cap S \right )+ \left ( S\cap V \right ) \right |\leq \left | S \right |$

$\Rightarrow \left | T\cap L \right |+\left | L\cap V \right |+\left | T\cap S \right |+\left | S\cap V\right |\leq \left | L \right |+\left | V \right |$                                      (1)

Mặt khác lại có $\left | T\cap L \right |+\left | L\cap V \right |+\left | T\cap S \right |+\left | S\cap V \right |>\frac{2}{3}\left ( \left | T \right |+\left | L \right |+\left | V \right | \right+\left | S \right | )$ (1)

Mà $\frac{2}{3}\left ( \left | T \right | +| L \right |+| V \right |+| S \right |\right )=\frac{1}{3}\left [ \left ( \left | T \right | +| L \right |\right ) \right +\left ( \left | T \right | +| S \right |\right ) \right+\left ( \left | L \right | +| V \right |\right ) \right+\left ( \left | S \right | +| V \right |\right ) \right]+\frac{1}{3}\left ( \left | T\cup L \right |+\left | T\cap L \right |+\left | T\cup S \right | +\left | T\cap S \right |+\left | L\cup V \right | +\left | L\cap V \right |+\left | S\cup V \right | +\left | S\cap V \right | \right )$

$\Rightarrow 2\left ( \left | T\cap L \right |+\left | L\cap V \right |+\left | V\cap S \right |+\left | S\cap T \right | \right )> \left | T\cup L \right |+\left | T\cup S \right |+\left | L\cup V \right |+\left | S\cup V \right |\geq \left | L \right |+\left | S \right |+\left | L \right |+\left | S \right |$

$\Rightarrow \left | T\cap L \right |+\left | L\cap V \right |+\left | T\cap S \right |+\left | S\cap V \right |> \left | L \right |+\left | S \right |$                                      (2)

(1),(2) mâu thuẫn nên giả sử ban đầu là sai!.

Chứng minh xong!

Dùng phản chứng cho nhanh nhỉ

Theo đề bài, ta có : a,b,c $\in \mathbb{N}$

$\Rightarrow \sqrt{a} \in Q$ hoặc $\in \mathbb{I}$

     $\sqrt{b} \in Q$ hoặc $\in \mathbb{I}$

     $\sqrt{c} \in Q$ hoặc $\in \mathbb{I}$

Già sử : $\sqrt{a} \in \mathbb{I}$

$\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \notin Q$ (vô lý)

Tương tự với $\sqrt{b}$ và $ \sqrt{c}$, ta đều có già sử sai.

$\Rightarrow \sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c} \notin \mathbb{I}$

Vậy $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c} \in \mathbb{Q}$

Về cơ bản thì bài làm của bạn đã đánh giá sai!.... ( với cả THCS vẫn chưa biết $\mathbb{I}$ là gì )

Trước hết giải quyết với 2 số đã:

Nếu $a,b\in \mathbb{Q};\sqrt{a}+\sqrt{b}=p\in \mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{a},\sqrt{b}\in \mathbb{Q}$

Thật vậy $\sqrt{a}=p-\sqrt{b}\Rightarrow a=p^{2}+b-2p\sqrt{b}\Rightarrow 2p\sqrt{b}\in \mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{b}\in \mathbb{Q}$

Tương tự...

Bây giờ giải quyết cho 3 số...

$\left ( p-\sqrt{c} \right )^{2}=\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{2}\Rightarrow 2\sqrt{ab}+2p\sqrt{c}=p^{2}+c-a-b\in \mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{c},\sqrt{ab}\in \mathbb{Q}$

Tương tự...

Dùng quy nạp ta có thể đánh giá cho n số

Đây là đề thi  HSG Hà Nội năm bao nhiêu ý...

Trước hết có nhận xét $\left ( \sum a \right )\in \left [ \sqrt{3};3 \right ]$

Min: $P\geq 2\left ( ab+bc+ca \right )+\frac{6}{a+b+c}=\left ( \sum a \right )^{2}-3+\frac{6}{\sum a}$

Max: $P=2\left ( ab+bc+ca \right )+\left ( bc+ca \right )+\frac{6}{a+b+c}$

$bc+ca\leq \frac{b^{2}+c^{2}+a^{2}+c^{2}}{2}=\frac{\sum a^{2}}{2}+\frac{c^{2}}{2}\leq \frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$

$P\leq \left ( \sum a \right )^{2}-3+2+\frac{6}{\sum a}=\left ( \sum a \right )^{2}+\frac{6}{\sum a}-1$

Việc còn lại là khảo sát hàm 1 biến trên 1 đoạn...

Có $\left\{\begin{matrix} y'= & \frac{2y}{\sqrt{y^{2}+1}}+1 & ; y\geq 2\\ y'= & \frac{2y}{\sqrt{y^{2}+1}}-1& ; y< 2 \end{matrix}\right.$

$y'=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Từ đó có $f\left ( y \right )_{min}=f\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )=2+\sqrt{3}$

Để hàm số liên tục tại $0$ thì $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f\left ( x \right )=f\left ( 0 \right )\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 0}sinx=m.e^{0}-1\Leftrightarrow m=1$

Dễ thấy $x>0$

Xét hàm số $f(x)=\sqrt[4]{x+\frac{1}{x}+1}+\sqrt[4]{x-\frac{1}{x}+1}-2$

$\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{4}(x+\frac{1}{x}+1)^{\frac{-3}{4}}(1-\frac{1}{x^2})+\frac{1}{4}(x-\frac{1}{x}+1)^{\frac{-3}{4}}(1+\frac{1}{x^2})>0$

Và $f(1)=0$

Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

$f\left ( 1 \right )=0$ sao?

Giải các phương trình sau

1/ $x^{2}-3x+7=\sqrt{x^{2}+3x+7}$

2/ $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{2x\sqrt{x-1}}=x+\frac{3}{2}$

Cách khác

Đặt $\left ( a,b,c \right )=\left ( x-1,y-1,z-1 \right )$.

Cũng với nhận xét có nhiều nhất 1 số nhỏ hơn 1

Ta xét 2 trường hợp:

* Nếu có đúng 1 số nhỏ hơn 1 thì $VT<0$

* Nếu tất cả đều lớn hơn 1 thì..

Từ giả thiết có $a+b+c+3=\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )\Leftrightarrow abc+ab+bc+ca=2$

Theo AM-GM có $ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{\left ( abc \right )^{2}}$

$t=\sqrt[3]{abc}\Rightarrow t^{3}+3t^{2}\leq 2\Rightarrow t\leq -1+\sqrt{3}$

$VT=t^{3}\leq \left ( \sqrt{3}-1 \right )^{3}=6\sqrt{3}-10$

** Cách này nhẹ nhàng và đơn giản hơn trong suy nghĩ!

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c+abc=4$

Tìm GTLN của $P=\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )$

Khai triển Abel   phep nhom abel.pdf   224.51K   93 Số lần tải