Phuong Thu Quoc

Cho các số dương $a,b,c,x,y,z$ thỏa $ax+by+cz=xyz$

Chứng minh $x+y+z\geq \sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b}$.

Đẳng thức có xảy ra không?

Tìm giới hạn:

a, $\lim_{x\rightarrow \infty }(x+\sqrt[3]{1-x^2})$

b, $\lim_{x\rightarrow +\infty }(ln(5x+8)-ln(3x+5))$

a/ $\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( x+\sqrt[3]{1-x^{2}} \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty }x\left ( 1+\sqrt[3]{\frac{1}{x^{3}}-\frac{1}{x}} \right )=+\infty$

b/ $\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( ln\left ( 5x+8 \right ) -ln\left ( 3x+5 \right )\right )=\lim_{x\rightarrow +\infty }ln\frac{5x+8}{3x+5}=ln\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{5x+8}{3x+5}=ln\frac{5}{3}$

Với các số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc=1$

Chứng minh rằng $\sum \frac{a}{(ab+a+1)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}$

Theo Bunhia có $(\sum a).(\sum \frac{a}{\left ( ab+a+1 \right )^{2}})\geq \left ( \sum \frac{a}{ab+a+1} \right )^{2}$

Theo kết quả quen thuộc nếu $abc=1\Rightarrow \sum \frac{a}{ab+a+1}=1$

Do đó $\left ( \sum a \right )\left ( \sum \frac{a}{\left ( ab+a+1 \right )^{2}} \right )\geq 1\Rightarrow \sum \frac{a}{\left ( ab+a+1 \right )^{2}}\geq \frac{1}{\sum a}$

Chứng minh rằng với mọi $x$ ta có $\sqrt{2x^{2}-2x+1}+\sqrt{2x^{2}-(\sqrt{3}-1)x+1}+\sqrt{2x^{2}+(\sqrt{3}+1)x+1}\geq \sqrt{5}$

Ta sẽ chứng minh $VT\geq 3$

Cái biểu thức này tựa tựa như trong đề minh họa nên chúng ta sẽ thử tách theo cách đó xem

$VT=\sqrt{x^{2}+\left ( x-1 \right )^{2}}+\sqrt{\left ( x-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}+\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}}+\sqrt{\left ( x+\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}+\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}}$

Gọi $M\left ( x;x \right );A\left ( 0;1 \right );B\left ( \frac{\sqrt{3}}{2};\frac{-1}{2} \right );C\left ( \frac{-\sqrt{3}}{2};\frac{-1}{2} \right )$

Ta cần chứng minh $MA+MB+MC\geq 3$

Dễ thấy $\Delta ABC$ đều và có tâm chính là gốc tọa độ

Do đó $O\left ( 0;0 \right )$ cũng chính là điểm Torricelli của $\Delta ABC$

Như vậy $MA+MB+MC\geq OA+OB+OC=1+1+1=3$

Dấu $"="$ xảy ra khi $M\equiv O\Leftrightarrow x=0$

 \Rightarrow f(a,b,c)\leq f(3,3,3)=1331$

 

 Chỗ đó là định lí dồn biến mà

 Thực ra đó là khi 3 biến bằng nhau mà khi đó thì mỗi biến bằng 3 nên em ghi vậy cho lẹ

Dồn biến chỉ đưa về trường hợp 2 biến bằng nhau thôi! 

Còn 1 khúc chứng minh $f\left ( 9-2t,t,t \right )\leq 1331$. Không thể hấp tấp mà bỏ qua khúc này được.

Đây là hàm 1 biến!

Bài 1: Từ giả thiết $\Rightarrow 7\sum x^{2}-12=3\sum x^{4}\geq \left ( \sum x^{2} \right )^{2}\Rightarrow \sum x^{2}\in \left [ 3;4 \right ]$

Theo AM-GM có $\frac{x^{2}}{y+2z}+\frac{x^{2}\left ( y+2z \right )}{9}\geq \frac{2x^{2}}{3}$

Lập các BĐT tương tự được $P\geq \frac{2\sum x^{2}}{3}-\frac{1}{9}\left ( \sum x^{2}\left ( y+2z \right ) \right )$

Lại theo AM-GM thì $x^{2}z\leq \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{z^{3}}{3}\Rightarrow \sum x^{2}z\leq \sum x^{3}$

Thay vào được $P\geq \frac{2\sum x^{2}}{3}-\frac{1}{9}\left ( \sum x \right )\left ( \sum x^{2} \right )\geq \frac{2\sum x^{2}}{3}-\frac{1}{9}(\sum x^{2})\sqrt{3\sum x^{2}}$

Xét $f\left ( t \right )=\frac{2t}{3}-\frac{t\sqrt{t}}{3\sqrt{3}}; t\in \left [ 3;4 \right ]$ để tìm GTNN.

1/ Máy biến thế có số vòng dây cuộn sơ cấp và cuộn thứ cấp là $N_{1}=400; N_{2}=100$ và điện trở là $r_{1}=4\Omega ; r_{2}=1\Omega$. Điện trở mắc vào cuộn thứ cấp là $R=10\Omega$. Xem mạch từ là kín và hao phí do dòng Fuco là không đáng kể. Đặt vào 2 đầu cuộn sơ cấp một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng $U_{1}=360V$. Tính điện áp hiệu dụng 2 đầu cuộn thứ cấp và hiệu suất của máy biến thế.

2/ Cho 1 con lắc đơn có vật nặng $m=0,1kg$ tích điện $0,5mC$ dao động tại nơi có gia tốc trọng trường $g=10m/s^{2}$. Đặt con lắc trong điện trường đều có $\overrightarrow{E}$ nằm ngang và $E=\frac{2000}{\sqrt{3}}V/m$. Đưa con lắc về vị trí thấp nhất rồi thả nhẹ. Tìm lực căng dây treo khi gia tốc vật nặng cực tiểu.

3/ Khi tăng hiệu điện thế của 1 ống Rownghen $n=1,8$ lần thì bước sóng giới hạn về phía sóng ngắn của phổ Rownghen có biến đổi là $\Delta \lambda =30pm$. Tìm hiệu điện thế lúc sau của ống.

4/ Cho 2 nguồn sóng kết hợp trên mặt nước, cúng pha có biên độ $4cm$ tại 2 điểm $A,B$ cách nhau $31cm$. Cho bước sóng $\lambda =12cm$. $O$ là trung điểm $AB$. Trên đoạn $OB$ có 2 điểm $M,N$ cách $O$ lần lượt $1cm$ và $4cm$. Khi $N$ có li độ $2\sqrt{3}cm$ thì $M$ có li độ là bao nhiêu?

Cho các số thực $a,b,c$ trong đó không có cặp số nào là cặp số đối nhau ( tổng 2 số bất kì khác 0)

Chứng minh $\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}-\left ( a+b+c \right )^{5}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}-\left ( a+b+c \right )^{3}}\geq \frac{10}{9}\left ( a+b+c \right )^{2}$

Tính tích phân $I=\int_{0,5}^{1}\sqrt{\frac{x}{x^{3}+1}}dx$

Cho các số dương $a,b,c$

Chứng minh $\frac{1}{a\sqrt{a+b}}+\frac{1}{b\sqrt{b+c}}+\frac{1}{c\sqrt{c+a}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2} +\frac{8xy}{x+y}&=16 & \\ \frac{x^{2}}{8y}+\frac{2x}{3} &=\sqrt{\frac{x^{3}}{3y}+\frac{x^{2}}{4}} -\frac{y}{2} & \end{matrix}\right.$

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.

Chứng minh $\left ( 2 - ab\right )\left ( 2-bc \right )\left ( 2-ca \right )\geq 1$

Đặt $-c=\frac{ab+1}{a+b}\Rightarrow ab+bc+ca=-1$

$\left ( \sum a \right )^{2}\geq 0\Rightarrow \sum a^{2}\geq -2\sum ab=2$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}-\frac{3y}{2}+\frac{y^{2}}{x^{2}} & =\frac{7x}{2y} & \\ y^{2}-\frac{3x}{2}+\frac{x^{2}}{y^{2}} & =\frac{7y}{2x} & \end{matrix}\right.$