Cho $a_1,a_2,...,a_n > 0$. CMR: $\frac{(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2}{a_1a_2+a_2a_3+...+a_na_1}\geq \frac{n}{2}$
- tpdtthltvp và tquangmh thích
Gửi bởi bestmather trong 28-01-2016 - 17:08
Cho $a_1,a_2,...,a_n > 0$. CMR: $\frac{(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2}{a_1a_2+a_2a_3+...+a_na_1}\geq \frac{n}{2}$
Gửi bởi bestmather trong 07-01-2016 - 19:31
Cho 0<a,b,c<1và $ab+bc+ca=1$ . Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-2(a^2+b^2+c^2)$
Gửi bởi bestmather trong 22-10-2015 - 21:28
Cho x,y,z không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+xz}+\frac{z}{1+xy}$
Gửi bởi bestmather trong 12-07-2015 - 21:46
Dễ thấy BĐT sai với $x=1,5;y=1,4;z=0,1$
ồ, mình cũng thử nhiều GT rồi mà thấy đúng.
Thực ra đây là dự đoán của mình trong quá trình giải bđt
vậy là sai !?
Gửi bởi bestmather trong 12-07-2015 - 19:58
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=3$. CMR: $x^2y+y^2z+z^2x\leq 3$
Gửi bởi bestmather trong 02-07-2015 - 10:38
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+2b-c>0$ và $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac+2$.
Tìm GTLN của biểu thức $P=\frac{a+c+2}{a(b+c)+a+b+1}-\frac{a+b+1}{(a+c)(a+2b-c)}$
Gửi bởi bestmather trong 31-05-2015 - 21:48
Lời giải khá đơn giản.
Áp dung BĐT Swart cho phương trình trên $=> 3^x+5^x>2.4^x$
Biến đổi quy đồng ta được : $(4^x+1)(3^x+5^x+2)=2(3^x+1)(5^x+1)$
Dễ dàng chứng minh : $(4^x+1)^2-(3^x+1)(5^x+1)\geq0$ (Chứng minh này khá đơn giản nên có lẽ bạn tự làm nhé)
$=>(4^x+1)(3^x+5^x+2)\leq2(4^x+1)^2=>3^x+5^x\leq2.4^x$ (Vô lí)
Vậy phương trình vô nghiệm
swart thế nào hả bạn?
Gửi bởi bestmather trong 31-05-2015 - 16:22
Gửi bởi bestmather trong 14-05-2015 - 11:40
Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTNN của
$P=\frac{2}{\left | a^2-b^2 \right |}+\frac{2}{\left | b^2-c^2 \right |}+\frac{2}{\left | c^2-a^2 \right |}+\frac{5}{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}$
Gửi bởi bestmather trong 12-05-2015 - 19:31
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTNN của :
$P=\frac{(a+b+c)^2}{5}+\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}-\frac{a^2+b^2+c^2}{7(ab+bc+ca)}$
Gửi bởi bestmather trong 29-04-2015 - 17:09
Đầu tiên ta có đánh giá:
$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+c^2}\geq \frac{10}{(a+b+c)^2}$
Bài toán trên có thể tổng quát thành: $\frac{1}{a^n+b^n}+\frac{1}{b^n+c^n}+\frac{1}{a^n+c^n}\geq \frac{5.2^{n-1}}{(a+b+c)^n}$
$(x+1)(y+1)(z+1)=xyz+xy+yz+xz+x+y+z+1=xyz+x+y+z+2$
Vì dự đoán P đạt Min khi 1 trong các biến bằng $0$ nên ta mạnh dạn đánh giá cho $xyz\geq 0$
Khi đó $P\geq \frac{10}{(a+b+c)^2}+\frac{5}{2}(a+b+c+2)$
Đến đây xét hàm là xong!
$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+c^2}\geq \frac{10}{(a+b+c)^2}$ sao lại có cái này?!
Gửi bởi bestmather trong 28-04-2015 - 21:45
Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn xy+yz+zx=1. Tìm GTNN:
P=$\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2}+\frac{5}{2}(x+1)(y+1)(z+1)$
!!!
Gửi bởi bestmather trong 25-03-2015 - 20:01
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=1. CMR
$\frac{a}{b^2+c^2+2}+\frac{b}{a^2+c^2+2}+\frac{c}{a^2+b^2+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$
Gửi bởi bestmather trong 21-03-2015 - 20:03
Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=3. CMR:
$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$
Gửi bởi bestmather trong 23-12-2014 - 19:31
Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$
Tìm GTLN của P=$xy+yz+2zx$
(dùng cauchy)
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học