Đến nội dung

quanghung86

quanghung86

Đăng ký: 14-06-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#670197 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 28-01-2017 - 02:19

Năm mới xin chúc các bạn mọi điều tốt đẹp như ý. Minh xin khai trương topic năm mới bằng cách giải bài này và đề nghị một bài đẹp tiếp theo  :). Trước hết thay đổi một chút ký hiệu cho bài toán dễ nhìn.

 

Bài toán 152 (Dark Repulsor). Cho tam giác $ABC$ có đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $M,N$ là trung điểm của $CE,BF$. $HM,HN$ cắt các đường tròn $(HBF),(HCE)$ lần lượt tại $P,Q$ khác $H$. $U,V$ lần lượt thuộc $BE,CF$ sao cho $AU\perp AB,AV\perp AC$. Chứng minh rằng $PQ\parallel UV$.

 

Figure4294.png

 

Giải bài toán 152. Ta thấy $\angle MCH=\angle HBF=\angle HPF$ nên tứ giác $FMCP$ nội tiếp. Tương tự tứ giác $ENBQ$ nội tiếp. Từ đó $HP.HM=HF.HC=HE.HB=HN.HQ$, ta suy ra $MNPQ$ nội tiếp. Gọi $EF$ cắt $BC$ tại $G$. $GH$ cắt $CA,AB$ tại $L,K$. Ta thấy $(AK,FB)=(AL,EC)=-1$ nên $AL.AM=AE.AC=AF.AB=AK.AN$ suy ra $KLMN$ nội tiếp. Kết hợp $MNPQ$ nội tiếp suy ra $PQ\parallel KL\perp AR$ với $R$ là trung điểm $BC$. Gọi $D$ đối xứng $A$ qua $R$ thì dễ thấy hai tam giác $AUV$ và $CDA$ đồng dạng c.g.c lại có các cạnh $AV\perp AC, AU\perp CD$ nên $AD\perp UV$. Từ đó $PQ\parallel UV$ do cùng vuông góc $AD$.

 

Bài toán 153. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trực tâm $H$ và $D$ là trung điểm của cung $BC$ không chứa $A$. $K$ là tâm ngoại tiếp tam giác $HBC$. $M,N$ lần lượt đối xứng $A$ qua $OB,OC$. Trên $MC,NB$ lần lượt lấy $E,F$ sao cho $KE\parallel DB,KF\parallel DC$. Chứng minh rằng $HE=HF$.

 

Figure4291.png

 

Lưu ý các bạn vẫn còn bài toán 146 chưa có lời giải.




#670121 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 27-01-2017 - 10:50

Cám ơn em đã đăng lời giải, bài toán 150 có thể tham khảo lời giải dùng tỷ số kép ở đây.

 

Bài toán 151. Cho tam giác $ABC$ với đường cao $AD$. $E,F$ là hình chiếu của $D$ lên $CA,AB$. $EF$ cắt $BC$ tại $T$. $BE$ cắt $CF$ tại $S$. $K$ là tâm ngoại tiếp tam giác $SEF$. Một đường thẳng bất kỳ đi qua $T$ cắt $(ABC)$ tại $M,N$. Chứng minh rằng đường tròn có tâm trên $AK$ và đi qua $M,N$ thì tiếp xúc $(K)$.




#670079 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 26-01-2017 - 23:39

Bài toán 148 có thể tham khảo tại đây trong #4 của Telv Cohl.




#670078 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 26-01-2017 - 23:29

Lời giải bài toán 149.

 

Figure4287.png

 

Sử dụng định lý Desargues thì bài toán cần chứng minh tương đương với giao điểm của các cặp đường thẳng $(B_cC_b,BC);(C_aA_c,AC);(A_bB_a,AB)$ thẳng hàng khi và chỉ khi giao điểm của $(A_bA_c,BC);(B_cB_a,AC);(C_aC_b,AB)$ thẳng hàng, Gọi $B_cC_b$ và $A_bA_c$ cắt $BC$ lần lượt tại $A_3,A_4$ thì áp dụng định lý Menelaus ta thấy $\frac{A_3B}{A_3C}=\frac{B_cP}{B_cC}.\frac{C_bB}{C_bP}$ và $\frac{A_4B}{A_4C}=\frac{A_cP}{A_cC}.\frac{A_bB}{A_bP}$ do đó 

 

Tương tự ta có $\frac{B_3C}{B_3A}=\frac{C_aP}{C_aA}.\frac{A_cC}{A_cP}$ và $\frac{B_4C}{B_4A}=\frac{B_aP}{B_aA}.\frac{B_cC}{B_cP}$ và $\frac{C_3A}{C_3B}=\frac{A_bP}{A_bB}.\frac{B_aA}{B_aP}$ và $\frac{C_4A}{C_4B}=\frac{C_bP}{C_bB}.\frac{C_aA}{C_aP}$. 

 

Từ đó $\frac{A_3B}{A_3C}.\frac{B_3C}{B_3A}.\frac{C_3A}{C_3B}=\frac{B_cP}{B_cC}.\frac{C_bB}{C_bP}.\frac{C_aP}{C_aA}.\frac{A_cC}{A_cP}.\frac{A_bP}{A_bB}.\frac{B_aA}{B_aP}$

 

Và $\frac{A_4B}{A_4C}.\frac{B_4C}{B_4A}.\frac{C_4A}{C_4B}=\frac{A_cP}{A_cC}.\frac{A_bB}{A_bP}.\frac{B_aP}{B_aA}.\frac{B_cC}{B_cP}.\frac{C_bP}{C_bB}.\frac{C_aA}{C_aP}$

 

Vậy  $\frac{A_3B}{A_3C}.\frac{B_3C}{B_3A}.\frac{C_3A}{C_3B}=1/(\frac{A_4B}{A_4C}.\frac{B_4C}{B_4A}.\frac{C_4A}{C_4B})$ nên $\frac{A_3B}{A_3C}.\frac{B_3C}{B_3A}.\frac{C_3A}{C_3B}=1\iff \frac{A_3B}{A_3C}.\frac{B_3C}{B_3A}.\frac{C_3A}{C_3B}=1$.

 

Ta hoàn thành chứng minh.

 

Theo cách chứng minh bài này thì chỉ cần $B_a,C_a$ bất kỳ trên đường thẳng $PA$ là được và tương tự các điểm còn lại :D!

 

Bài toán 150 (AoPS). Cho tam giác $ABC$ với $M$, $N$, $Q$ là trung điểm $AB$, $BC$ và $AC$. $P$ nằm trong tam giác và nằm trên phân giác $\angle BCA$. Gọi $D=AP\cap MN$ và $E=BP\cap MQ$. Chứng minh rằng $MD=ME$.




#670029 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 26-01-2017 - 19:50

Cám ơn Hoàng về lời giải mới thú vị khác đáp án, thầy sẽ post đán án ngày mai. Xin đề nghị bài tiếp theo

 

Bài toán 148 (Telv Cohl). Cho tam giác $ABC$ có $P,Q$ là hai điểm đẳng giác và $E,F$ lần lượt thuộc cạnh $CA,AB$. Chứng minh rằng $ \angle BPC + \angle EPF = 180^{\circ} \iff \angle BQC + \angle EQF = 180^{\circ}$




#670016 Một số đề hình học năm 2017 trên thế giới

Gửi bởi quanghung86 trong 26-01-2017 - 17:00

Cám ơn em về lời giải thú vị này chỗ kia mình nghĩ là $\sin\frac{KYF}{2}$ ?

 

Mình sẽ xem kỹ và trao đổi lại với em, bài này post trên AoPS cũng lâu mà chưa ai giải cả :)!


  • NHN yêu thích


#670014 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 26-01-2017 - 16:24

Cám ơn Hoàng và Dương đã đóng góp lời giải. Bài toán này xuất phát từ đây. Trong đó có hai lời giải khác nhau, tuy nhiên thầy giải dựa trên bài Tuymaada 2009.

 

Xin đề nghị bài toán tiếp.

 

Bài toán 147. Cho tam giác $ABC$ nhọn có trực tâm $H$. $E,F$ lần lượt thuộc đoạn $CA,AB$ sao cho $EF$ tiếp xúc $(BHC)$. $K$ là tâm ngoại tiếp tam giác $AEF$. $M,N$ lần lượt thuộc đoạn $KC,KB$ sao cho $\angle KME=\angle KEC,\angle KNF=\angle KFB$. Chứng minh rằng $(AMN)$ tiếp xúc $EF$.

 

Figure4285.png




#669993 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 26-01-2017 - 11:38

Cám ơn Dương lời giải của em cũng tương tự lời giải của Luis đưa ra ở đây nên thầy không dịch lại lời giải trong link nữa. Xin đề nghị bài tập tiếp

 

Bài toán 146. Cho tam giác $ABC$ với trực tâm $H$. $D$ là điểm nằm cũng phía $A$ với $BC$. $E,F$ thuộc cạnh $CA,AB$ sao cho $\angle HEC=\angle DCB$ và $\angle HFB=\angle DBC$. $M,N$ là đối xứng của $E,F$ qua $HC,HB$. Đường tròn $(HCM)$ và $(HBN)$ cắt nhau tại $K$ khác $H$. $L$ là tâm ngoại tiếp của tam giác $HEF$. Chứng minh rằng $HL\parallel KD$.

 

Figure4286.png




#669989 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 26-01-2017 - 11:29

Cám ơn em, xin dịch lại lời giải của bạn Đỗ Xuân Long đưa ra tại đây

 

Gọi $X,Y,Z$ là điểm Lemoine của các tam giác $AEF,BDF,CDE$. $H,O,G,L$ là trực tâm, tâm ngoại tiếp, trọng tâm, điểm Lemoine của tam giác $ABC$. $M, N$ là trung điểm của $BC, EF$. $T$ là trung điểm $AD$. $AU\perp EF$. $V$ là trung điểm $AU$. ta biết rằng $MT$ đi qua $L$. Từ $AU\parallel MN$, ta có $\frac {XA}{XM}=\frac {XV}{XN}=\frac {LT}{LM}$ vì vậy nên $XL\parallel AH \implies XL\perp BC$. Từ $\triangle DYZ\sim \triangle HBC$, ta thấy $AM\perp YZ \implies GX\perp YZ$. Gọi $\ell$ là đường thẳng qua $X$ và song song $YZ$. $t$ là đường thẳng qua $G$ và vuông góc $AD.$ Ta có $X(L,\ell,Y,Z)=G(M,t,BC)=-1$, nên $XL$ chia đôi $YZ$. Tương tự thì $L$ là trọng tâm tam giác $XYZ$.

 

Mình xin đề nghị bài tiếp.

 

Bài toán 145 (AoPS). Cho tam giác $ABC$ với $\angle BAC<45^{\circ}$. $D$ ở trong tam giác $ABC$ sao cho $BD=CD$ và $\angle BDC=4\angle BAC$. $E$ là đối xứng của $C$ qua $AB$. $F$ là đối xứng của $B$ qua $AC$. Chứng minh rằng $AD\perp EF$.

 

 




#669920 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 25-01-2017 - 21:37

Mình xin đề nghị bài toán tiếp

 

Bài toán 144. Cho tam giác $ABC$ với đường cao $AD,BE,CF$. Chứng minh rằng điểm Lemoine của tam giác $ABC$ là trọng tâm tam giác tạo bởi các điểm Lemoine của tam giác $AEF,BFD,CDE$.




#669916 VMF's Marathon Hình học Olympic

Gửi bởi quanghung86 trong 25-01-2017 - 21:32

Qua hai ngày mình xin post đáp án bài toán 142.

 

Figure4284.png

 

Giải bài toán 142. Gọi $H$ là hình chiếu của $P$ lên $CD$. Cho $H(0,0),C(c,0),D(d,0),P(0,p)$ thì $A(d,p),B(c,p),Q(-d,p),R(-c,p),M(c,\frac{c^2+p^2}{2p}),N(d,\frac{d^2+p^2}{2p})$. Ta tính được tọa độ $X(-\frac{cd+p^2}{c+d},\frac{p^4+p^2(c^2+d^2+4cd)+c^2d^2}{2p(c+d)^2}).$

 

Từ đó $d(X,CD)=\frac{p^4+p^2(c^2+d^2+4cd)+c^2d^2}{2p(c+d)^2}$ và như vậy

 

$$XP^2=(\frac{p^2+cd}{c+d})^2+(\frac{p^4+p^2(c^2+d^2+4cd)+c^2d^2}{2p(c+d)^2}-p)^2=(\frac{p^4+p^2(c^2+d^2+4cd)+c^2d^2}{2p(c+d)^2})^2=d(X,CD)^2.$$

 

Bài này dùng tọa độ theo mình là tối ưu, bạn nào có lời giải thuần túy hình hãy đóng góp tiếp




#669878 Chứng minh điểm Euler là tâm đẳng phương

Gửi bởi quanghung86 trong 25-01-2017 - 14:44

Đây là một trong các bài toán của Thebault, xem trong này trang 54-56.




#669876 Chứng minh E,F,O,X,Y đồng viên

Gửi bởi quanghung86 trong 25-01-2017 - 14:33

Tam giác $YAC$ và $YDB$ đồng dạng g.g có các trung tuyến tương ứng là $YE,YF$ nên hai tam giác YFB và YEC đồng dạng suy ra $\angle YFB=\angle YEC$ nên tứ giác $OFYE$ nội tiếp. Tương tự $X$ thuộc $(OEF)$.

Hình gửi kèm

  • Figure4283.png



#669874 P,K,L thẳng hàng tương đương Q,M,N thẳng hàng

Gửi bởi quanghung86 trong 25-01-2017 - 14:27

Bài này có thể được giải nhờ bài toán Nga năm 2000 http://artofproblems...h514303p2889241 và tính chất đường thẳng Newton là tâm nội tiếp của $ABCD$ nằm trên đường nối trung điểm 2 đường chéo.




#669873 Chứng minh CD=3FG

Gửi bởi quanghung86 trong 25-01-2017 - 14:17

Bài này đã có ở đây http://www.artofprob...unity/c6h329267