TMW

Tìm khoảng đơn điệu của hàm số sau:

y = $y=sinx$ trên khoảng $(-2017\Pi ,2017\Pi )$

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: $\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}\geq \frac{\pi }{3}$

Cạnh đối diện góc lớn thì cạnh đó cũng lớn ( so sánh trong cùng một tam giác)

Giả sử A>=B>=C thì ta có được a >= b >= c

Vận dụng bất đẳng thức chebyshev cho hai bộ cùng chiều  

Sau khi được $x=y$ thay vào (2) ta được

$x+\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x(x-1)}= \frac{9}{2}$

Vì biết nghiệm là $x=\frac{25}{16}$ nên ta tiếp tục SD phương pháp liên hợp là ra ngay

Hì, đúng là kĩ thuật liên hợp rất là hay, giải được nhiều bài, và sử dụng nó cũng cần có kĩ thuật nữa............

Haizzzz.............cơ mà rõ ràng thay dô đồng biến rồi, nhẩm nghiệm là xong rồi, cần chi liên hợp nhỉ ? 

Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}& x\left(\sqrt{{{x}^{2}}+y}+y\right)=x\left(\sqrt{{{x}^{2}}+x}+x \right) \\ & x+\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+\sqrt{y\left( x-1\right)}=\frac{9}{2}\\\end{align}\right.$ 

x >= 1.

Nếu x > y hoặc x < y thì (1) không xảy ra ( đánh giá đơn giản ) nên x = y  ( có thể rút gọn đặt nhân tử x - y được thì quá tuyệt vời, nhưng mình đánh giá)

Xin nói thêm phương trình (2) chỉ có một nghiệm duy nhất, có thể bấm máy, hoặc có thể nhẩm, mình nhẩm bằng phương pháp a , b , (a + b)/2

Nghiệm là 25 / 16

Thành thử bảo: "đến đây dễ rồi" cũng phải đi một đoạn tí tí nữa 

Cho $x,y$ thỏa $3x-6\sqrt{2x+4}=4\sqrt{3y+18}-2y$.Tìm $Min,Max$:

$P=\frac{x}{2}+\frac{y}{3}-1$

Đề bài thú vị quá nhỉ ? Trước tiên để dễ nhìn chúng ta đặt cái đã. Đặt a = căn(2x +4), b = căn(3y+18)

Thì gt biến đổi thành: 18x - 36 căn( 2x +4 ) = 24 căn( 3y + 18) - 12y

                                  9a^2 - 36a - 36 = 24b - 4b^2 - 72

                                  (9a^2) + (4b^2) + 36 = 36a + 24b

Bỏ qua số -1 ở đuôi đi, nó không có ý nghĩa

Q = 18x + 12y = 9a^2 + 4b^2 

Đến đây đơn giản quá rồi nhỉ, chẳng qua mình đặt để tiện cho nhìn chứ lúc đầu mình nhìn cũng hông ra đâu .................

Ta sẽ cố gắng đánh giá VP <= k(9a^2 +4b^2) + q 

                                      VT >= m( 3a + 2b) + n

$VT\leq \sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}=\sum \sqrt{\frac{2}{1+\frac{b}{a}}}$

Đặt $\sqrt{\frac{b}{a}}=x\\\sqrt{\frac{c}{b}}=y\\\sqrt{\frac{a}{c}}=z$, ta có:

$VT\leq \sqrt{\frac{2}{1+x^{2}}}+\sqrt{\frac{2}{1+y^{2}}}+\sqrt{\frac{2}{1+z^{2}}}\leq \sqrt{4.\left ( \frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}} \right )}+\sqrt{\frac{2}{1+z^{2}}}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $xy\leq 1$, dễ chứng minh BĐT sau bằng biến đổi tương đương:

$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\leq \frac{2}{1+xy}$

 

Vậy:

$VT\leq \sqrt{\frac{8}{1+xy}}+\sqrt{\frac{1}{1+z^{2}}}=\sqrt{\frac{8z}{z+1}}+\sqrt{\frac{2}{z^{2}+1}}$

Khảo sát hàm số:

$f(z)=\sqrt{\frac{8z}{z+1}}+\sqrt{\frac{2}{z^{2}+1}}$ trên $\left [1;+\infty \right )$ ta có:

$f(z)\leq f(1)=3$

Vậy....................

Cách giải trên không đảm bảo. Chúng ta cần thấy rõ rằng a,b, c hoàn toàn có thể bằng 0. À .......... à................

Cách giải này không ổn đâu bạn ơi

Cho a; b : c > 0 chứng minh rằng : 

$\dfrac{2}{a^2 + bc} + \dfrac{2}{b^2 + ac} + \dfrac{2}{c^2  + ab} \le \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ca} + \dfrac{1}{ab}$

Để ý là phân thức có tử là số 2

Ta mạnh dạn thử đánh giá: a^2 + bc >= 2a(cănbc). Nếu như đánh giá này hữu ích thì sẽ rút gọn được cả số 2 ở tử , làm cho bất đẳng thức hai bên vế trái phải rất cân xứng, cùng bậc

Rất may mắn là đánh giá này là dùng được

Mình xin độ lại bài toán như sau:

Chứng minh rằng 

4 / (b^2 + ac) + 4/ (c^2 + ab) <= 1/bc + 3/2(1/ab + 1/ac)

Với a <= b , a<= c

Cho a,b,c dương với $abc=1$ CMR:

$1+\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{4}{ab+bc+ca}$

Nếu các bạn không biết nhiều bất đẳng thức phụ có thể làm đơn giản như sau:

Quy đồng cần chứng minh: ( ab +bc +ca )( a + b + c +1) >= 4( a + b + c )

Thấy có sự xuất hiện của " a + b + c" nên ta sẽ cố tình đưa về ẩn là " a + b + c"

Và đánh giá đơn giản chỉ là: ab + bc + ca >= căn( 3abc(a+b+c)) = căn (3(a + b + c))

Khảo sát hàm số đơn giản

Quả thật đây là một bất đẳng thức không chặt.......... nhưng đây là bài toán có nhiều cách giải rất độc đáo

Thử một ví dụ nhé: Phương pháp mà ta sẽ dùng là phương pháp  p ,q ,r 

p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc = 1 [........................]

Đề có phải là như thế này không bạn?

Cho $x, y, z> 0$ thoả mãn $x+y+z=xyz$. Tìm Max:

$P=\frac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$

 

P/s: Sao mãi không gõ được Latex vậy nhỉ?

Với mình, mình không có nhiều hiểu biết về cái giả thiết quái đảng kia...............

Xạo đấy, mình thừa biết là tanA.tanB.tanC = tanA + tanB + tanC ......................... hề

Nhưng nếu bạn không biết đẳng thức lượng giác trên thì thế nào ????

Đơn giản thôi, chúng ta sẽ nhìn vào phát biểu của P để làm, đơn giản mà.............

Thấy y và z bình đẳng. Lập tức nghĩ rằng ... à đẳng thức xảy ra thì y = z, như vậy công việc cần làm là đánh giá cho hai phân thức cuối cùng

Khi dấu "=" xảy ra thì y^2 = y.y = yz = z^2

Khi đó: P = "phân thức 1" + 2 / căn( 1 + yz)

Có phải bài toán bảo tìm MAX không nhỉ

Vậy thì ta đổi một tí: P <= "phân thức 1" + 2 / căn( 1 + yz) 

Chứng minh bất đẳng thức trên bạn có thể tìm được trên mạng

Tới đây............. dùng giả thiết, rút x theo yz.......... vậy là ta đưa về được một ẩn thôi........khỏe 

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: $min\left \{ a,b,c \right \}\geq \frac{1}{4}max\left \{ a,b,c \right \}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biếu thức: $P=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}$

P/s: Mọi người làm nhanh kẻo trôi ạ     

Đây là một bài toán thú vị

Thú vị thứ nhất là cái phát biểu của giả thiết, ban có thể chia trường hợp............v...vv

Nhưng đừng làm như vậy ( theo mình), mà ta chuyển giả thiết đó về a,b,c thuộc [1, 4]

Tiếp theo thiết nghĩ nên dùng đạo hàm để làm cho khỏe người

 + Đầu tiên là chọn ẩn. Chọn bừa x = a/c. đặt b/ c = y

 + P = x - y + (y-1)/x + (1 - x)/y

 + Nhận thấy x thuộc [1,4] và y cũng thuộc [1,4] hơn nữa tập giá trị của x không bị ảnh hưởng gì bởi y và ngược lại

 + Bạn có thể xem P = f(x), khảo sát theo x, xem y là một tham số

                 f'(x) = 1 - 1/y - (y-1)/x^2 = (1-y)(1/x^2 -1/y)

   Nếu y = 1, thay y vào , bài toán đơn giản

   Nếu y <>1 thì f'(x) = 0 khi x = căn y.

   Vẽ bảng biến thiên.......xong ( chú ý là dấu của 1 - y là âm nhé vì y >=1 )

Dễ mà, chỉ cần biết khảo sát !   

Chứng minh $2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$

Mình sẽ hiểu là a,b,c không âm nhé

Ý tưởng đầu tiên dĩ nhiên là "khử căn"

2(a^2 + 1) >= (a+1)^2; và (1+b^2)(1+c^2)>=(b + c)^2

Chính vì vậy: Cái căn >= (a + 1)(b + c )

Tới đây nhân tung ra rút gọn xem thế nào ?

Thì 2(1+abc)+ ab + ac + b + c >= (a + b +c ) + (ab + bc +ca) + ( 1 + abc)

<=> ( 1 + abc ) >= a + bc <=> (1 - a )(1 - bc) >=0 ( cái này sẽ đúng nếu 1 - a và 1 - bc cùng dấu)

Nếu điều trên đúng, ta không cần chứng minh tiếp

Nếu điều trên sai nghĩa là 1 - a và 1 - bc ngược dấu

Lúc này lập luận tương tự với 1 - b; 1 - ac và 1-c ; 1 - ab chẳng hạn đều ngược dấu cả.... thì lúc này làm tiếp như sau ( vì nếu một cái cùng dấu thôi bdt được lập ngay)

Trong 3 số a,b, c phải có 1 số <=1

Giả sử a<=1 , bc >=1

Lúc này:

2(1 + abc)/ (1+a) >= 1+bc 

Thành thử ta chỉ cần chứng minh : 1 + bc + căn(1+b^2)(1+c^2) >= (1 + b)(1+ c) ( bạn có để ý là bất đẳng thức này chính là bất đẳng thức đầu khi thay a = 1 không ???)

căn (1 + b^2)(1+c^2 ) >= b + c ( đến đây chứng minh xong)

Để tiện mình xin tóm tắt chứng minh như sau:

+ Khử căn nhờ đánh giá, bất đẳng thức sẽ thành lập nếu (1 - a)(1-bc)>=0 hoặc (1-b)(1-ac)>=0 hoặc (1-c)(1-ab)>=0

+ Trường hợp  3 biểu thức trên đều không thỏa thì trong ba số a, b, c phải có 1 số <= 1

   ( Nếu ngược lại a>1, b>1, c>1 thì (1-a)(1-bc)>0 --> mâu thuẫn) 

+ Giả sử a <=1 thì bc >=1

   Lúc này đưa về bất đẳng thức đơn giản (1 + bc) + căn (1 + b^2)(1+c^2) >= (1+b)(1+c)

cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn $a^{3}+b^{3}-c^{3}=0.$. tìm GTNN của 

P=$\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{(c-a)(c-b)}$

Trước tiên do thấy a,b có vẻ như nhau ta cho a = b xem sao:

Lúc này dễ thấy: a = b và c = căn bậc 3 của 2 " x" a

Thế vào P, ta tìm được  P = ( 2 - căn 3 của 4)/ ( căn3 của 2 - 1)^2

Ta thử một vài bộ số xem giá trị trên có phải là GTNN hay không............ ( mình chưa thử  )

Tuy nhiên, bạn có nhận ra rằng: Giá trị của P không phụ thuộc vào c mà nó phụ thuộc vào cả a lẫn b

Bằng chứng là khi bạn thay thế a = kb thì lập tức c được xác định ( một con số cụ thể biểu diễn theo cả a,b)

Chính vì vậy đưa ta tới một cách khử ẩn thú vị sau:

Đặt c = 1 ( ~~~ bạn sẽ rõ hơn nếu đọc về kĩ thuật chuẩn hóa ~~~)

Lúc này : P chỉ là một bất đẳng thức 2 biến, trong khi đó a^3 + b^3 = 1.......... rất dễ làm

Mình thuộc tuýp người lười biếng nên sẽ thay b = căn bậc 3 của 1 - a^3 rồi ............ thách thằng bạn đạo hàm.....................

Cho $x,y,z$ thỏa $xyz=2\sqrt{2}$.Chứng minh:

$\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4+x^2y^2}+\frac{y^8+z^8}{y^4+z^4+y^2z^2}+\frac{z^8+x^8}{z^4+x^4+z^2x^2}\geqslant 8$

Nên làm đơn giản và dễ hiểu thôi. Làm như sau:

2(a^3 + b^3) = (a^3 + b^3 ) + ( a^3 + b^3) >= (a^3 + b^3) + ab( a+ b) = (a + b)( a^2 + b^2 )

a^2 + ab + b^2 <= a^2 + 0.5( a^2 + b^2 ) + b^2

Kết hợp lại, rút gọn là ổn rồi. Không cần phải dùng công cụ phức tạp đâu

Ý tưởng như vầy:

Ta có bất đẳng thức quen thuộc: a^2 + b^2 >= 2ab ( thực ra cũng chả quen mấy) 

Do đó : mẫu của phân thức thứ nhất được chuyển về hết a^2 + b^2

Vì vậy mà xuất hiện ý nghĩ chuyển tử phân thức chứa a^2 + b^2 để tiện bề rút gọn...... vậy thôi

Cách thứ 2 lại còn thú vị hơn nhé....................

Bạn biết a^2 + ab + b^2 xuất hiện ở đâu chứ? À, a^3 - b^3 = ( a - b ) ( a^2 + ab + b^2)

À, vì vậy nên ( a^3 - b^3)/( a^2 + ab + b^2) = (a - b)

Tương tự ta có: [.........] = b- c và [..........] = c - a 

Cộng vế theo vế, từ đó thu được: a^3 / ( a^2 + ab + b^2 ) + ................ = b^3 / ( a^2 + ab +b^2)

Thành thử ta chỉ cần chứng minh: a^3/ (a^2 + ab + b^2 )+......... >= 4 ( bất đẳng thức "quen thuộc" nhỉ ????)

Cách 3: 

Xét nghiệm dạng (x,y)=(a,0) thì a=0 hay (x,y)=(0,0)

Xét y khác 0. Đặt x = ky. Hệ tạm thời viết lại thành : 

     $x^{3}+x^{2}y=8y-x(I) ; x^{4}y^{2}=4y^{2}-x^{2}(II)$

Bình phương hai vế của (I), nhân chéo vế theo vế với (II) rút gọn ta được

        $(k^{3}+k^{2})^{2}(4-k^{2})=k^{4}(8-k^{2})^{2}$

Giải ra k = 0 là nghiệm duy nhất

x= 0 nên y = 0

Tóm lại (x,y) = (0,0)

Đơn giản như sau:

z = min {x,y,z}

        $x^{n}+z^{n}\leq (x+\frac{z}{2})^{n}$

        $y^{n}+z^{n}\leq (y+\frac{z}{2})^{n}$

        $x^{n}+y^{n}\leq (x+\frac{z}{2})^{n}+(y+\frac{z}{2})^{n}$

Và ta có bổ đề với các số a, b không âm

        $\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}+\frac{1}{a^{n}+b^{n}}\geq \frac{5.2^{n-1}}{(a+b+c)^{n}}$