sieu dao chich

Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^3+8b^3+27c^3-18abc-1=0$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$$P=a^2+4b^2+9c^2$$

P/s.Không biết có cần điều kiện $a,b,c$ không âm không nhỉ

BÀI 63

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn$1\leq a,b,c \leq 4$ và $a+b+2c=8$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$$P=a^3+b^3+5c^3$$

1. Cho x,y,z thuộc đoạn [ 0;2] và x+y+z=3.

Tìm min và max của P= $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$

 

2. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P = $\frac{x^{2}}{x+y^{2}} + \frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

 

3. Cho x,y,z>0 thỏa x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) $\leq$6

Tìm min P = $\frac{1}{x+y+1} + \frac{1}{y+z+1} + \frac{1}{z+x+1}$

 

4. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P= $\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^{3}}+4x-2)}+ \frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^{3}}+4y-2)} + \frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^{3}}+4z-2)}$

Bài 4

Ta có $2\sqrt{1+8x^3}=2\sqrt{(1+2x)(1-2x+4x^2)}\leq\sqrt{\dfrac{(2+4x^2)^2}{4}}=2+4x^2$

Tương tự với các biểu thức còn lại ta có

$P\geq\frac{x}{xy+y^3}+\frac{y}{yz+z^3}+\frac{z}{zx+x^3}$

 $=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-(\frac{x}{x^2+z}+\frac{y}{y^2+x}+\frac{z}{z^2+x})$

$\geq(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-\frac{1}{2}(\frac{x}{x\sqrt{z}}+\frac{y}{y\sqrt{x}}+\frac{z}{z\sqrt{y}})$

$=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}})$

$\geq\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}})-3$

$\geq\frac{27}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}})-3\geq\frac{27}{2\sqrt{3(x+y+z)}}-3=\frac{3}{2}$

1. Cho x,y,z thuộc đoạn [ 0;2] và x+y+z=3.

Tìm min và max của P= $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$

 

2. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P = $\frac{x^{2}}{x+y^{2}} + \frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

 

3. Cho x,y,z>0 thỏa x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) $\leq$6

Tìm min P = $\frac{1}{x+y+1} + \frac{1}{y+z+1} + \frac{1}{z+x+1}$

 

4. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P= $\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^{3}}+4x-2)}+ \frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^{3}}+4y-2)} + \frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^{3}}+4z-2)}$

Bài 2

$P=x+y+z-[\dfrac{xy^2}{x+y^2}+\dfrac{yz^2}{y+z^2}+\dfrac{zx^2}{z+x^2}]\geq x+y+z-\dfrac{1}{2}(\sqrt{x}y+\sqrt{y}z+\sqrt{z}x)$

$\geq x+y+z-\dfrac{1}{2}\sqrt{(xy+yz+zx)(x+y+z)}\geq x+y+z-\dfrac{1}{2}\sqrt{\frac{(x+y+z)^3}{3}}=\dfrac{3}{2}$

1. Cho x,y,z thuộc đoạn [ 0;2] và x+y+z=3.

Tìm min và max của P= $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$

 

2. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P = $\frac{x^{2}}{x+y^{2}} + \frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

 

3. Cho x,y,z>0 thỏa x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) $\leq$6

Tìm min P = $\frac{1}{x+y+1} + \frac{1}{y+z+1} + \frac{1}{z+x+1}$

 

4. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P= $\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^{3}}+4x-2)}+ \frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^{3}}+4y-2)} + \frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^{3}}+4z-2)}$

Bài 3

Ta có $\dfrac{(x+y+z)^2}{3} \leq x^2+y^2+z^2 \leq x+y+z+6$

Suy ra $x+y+z\leq6$

$$P\geq\dfrac{9}{2(x+y+z)+3}\geq\dfrac{3}{5}$$