sieu dao chich

Cho các số $a,b,c$ thuộc $[0,\frac{1}{2}]$ thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh rằng

$$a^3+b^3+c^3+4abc\leq\frac{9}{32}$$

 

Toc Ngan : Topic bị khóa do đặt sai tiêu đề

BÀI 63

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn$1\leq a,b,c \leq 4$ và $a+b+2c=8$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$$P=a^3+b^3+5c^3$$

 

1. Cho x,y,z thuộc đoạn [ 0;2] và x+y+z=3.

Tìm min và max của P= $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$

 

2. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P = $\frac{x^{2}}{x+y^{2}} + \frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

 

3. Cho x,y,z>0 thỏa x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) $\leq$6

Tìm min P = $\frac{1}{x+y+1} + \frac{1}{y+z+1} + \frac{1}{z+x+1}$

 

4. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P= $\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^{3}}+4x-2)}+ \frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^{3}}+4y-2)} + \frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^{3}}+4z-2)}$

Bài 4

Ta có $2\sqrt{1+8x^3}=2\sqrt{(1+2x)(1-2x+4x^2)}\leq\sqrt{\dfrac{(2+4x^2)^2}{4}}=2+4x^2$

Tương tự với các biểu thức còn lại ta có

$P\geq\frac{x}{xy+y^3}+\frac{y}{yz+z^3}+\frac{z}{zx+x^3}$

 $=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-(\frac{x}{x^2+z}+\frac{y}{y^2+x}+\frac{z}{z^2+x})$

$\geq(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-\frac{1}{2}(\frac{x}{x\sqrt{z}}+\frac{y}{y\sqrt{x}}+\frac{z}{z\sqrt{y}})$

$=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}})$

$\geq\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}})-3$

$\geq\frac{27}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}})-3\geq\frac{27}{2\sqrt{3(x+y+z)}}-3=\frac{3}{2}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bài 23. Cho $a,\,b,\,c\geq0$ và $a+b+c=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+3\left(ab+bc+ca\right)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

$P\geq(ab+bc+ca)^2+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{1-2(ab+bc+ca)}=t^2+3t+2\sqrt{1-2t}=f(t) $ Với $t=ab+bc+ca$

Từ điều kiện bài toán suy ra $t$ thuộc đoạn $[0;\dfrac{1}{3}]$

Ta có $f'(t)=2t+3-\dfrac{2}{\sqrt{1-2t}}=g(t)$

$g'(t)=2+\dfrac{2}{(1-2t)\sqrt{1-2t}}>0$, suy ra hàm $g(t) $ đòng biến nên$g(t)\geq g(0)=1>0$

Suy ra $f(t) $.đồng biến $f_{min}=2 $khi$t=0$

Vậy $P_{min}=2$ khi $(a,b,c)=(0,0,1) $và các hoán vị

Bài 22. Cho $a,\,b,\,c>0$ và $a+b+c=3.$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{2}{3+ab+bc+ca}+\dfrac{\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}$$

$$P\leq\dfrac{2}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+3}+\dfrac{\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}$$

Đặt $t=\sqrt[3]{abc}$, suy ra $0 < t\leq1$

Khi đó Xét hàm số $f(t)=\dfrac{2}{3+3t^2}+\dfrac{t}{t+1}$ với  $0 < t\leq1$

$f'(t)=0$ khi$ t=\dfrac{\sqrt{7}+1-\sqrt{2\sqrt{7}-1}}{3}$

Lập bảng biến thiên ta được $P_{max}=\dfrac{6}{(\sqrt{7}+1-\sqrt{2\sqrt{7}-1})^2+9}+\dfrac{\sqrt{7}+1-\sqrt{2\sqrt{7}-1}}{\sqrt{7}+4-\sqrt{2\sqrt{7}-1}}$

Cho a,b là các số thực lớn hơn 1 thì ta có bất đẳng thức

$$\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}\geq\frac{2}{\sqrt{ab}-1}$$ 

Chứng minh

BĐT trên tương với$(a+b-2)(\sqrt{ab}-1)\geq2(ab-a-b+1)$

               <=>$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(\sqrt{ab+1})\geq0$ (với mọi $a,b>1$)

 

Giải PT

$$\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+4x+3}=\sqrt{(x+2)^3}$$

Đk$x\geq1$

Bình phương 2 vế ta được Phương trình

$$x^3+5x^2+7x+4=2\sqrt{(x+1)^2(x+3)}$$

<=> $$(x^3+5x^2+7x+3)-2\sqrt{x^3+5x^2+7x+3}+1=0$$

 

<=>$$\sqrt{x^3+5x^2+7x+3}=1$$

<=>$$(x+2)(x^2+3x+1)=0$$

<=>$x=-2(loại),x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2} (loại) ;x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$$

Vậy PT có nghiệm là$x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$

Cho $a,b,c\geq1$.Chứng minh bất đẳng thức sau

$$a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)+2(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2})\geq9$$

 

 

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a+b+c=3$, chứng minh rằng 

$$\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a}\leq\frac{3}{2}$$

Bài 1: $\left\{\begin{matrix} x^4+2x^3-5x^2+y^2-6x-11=0 & \\ x^2+x=\frac{3\sqrt{y^2-7}-6}{\sqrt{y^2-7}} & \end{matrix}\right.$

ĐK: $y^2\geq7$

Đặt $a=x^2+x-3;b=\sqrt{y^2-7}$ , ta đượcHPT

$\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=13 & \\ ab=-6 & \end{matrix}\right.$

Bài toán 22 : Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh rằng :
$$\frac{a^3}{b^2-2b+3}+\frac{2b^3}{c^3+a^2-2a-3c+7}+\frac{3c^3}{a^4+b^4+a^2-2b^2-6a+11}\leq \frac{3}{2}$$
(Trích đề thi thử số 4 TH&TT số 427)

Bài toán 23 : Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$$P=\frac{3\left ( b+c \right )}{2a}+\frac{4a+3c}{3b}+\frac{12\left ( b-c \right )}{2a+3c}$$

Mình thử làm bài toán 23

$$P+11=\frac{3(b+c)}{2a}+2+\frac{4a+3b}{3b}+1+\frac{12(b-c)}{2a+3c}+8$$

$P+11=(4a+3b+3c)\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}+\frac{4}{2a+3c}\right)\geq(4a+3b+3c)\left(\frac{16}{{(4a+3b+3c)}}\right)=16$

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của$P=5$. Dấu = xảy ra khi$c=0$ và $2a=3b$

Bài này sử dụng tiếp tuyến.
Ta dễ dàng có được đánh giá :
\[\frac{1}{{2 + 6{a^2} + 9{a^4}}} \ge - \frac{{48}}{{289}}\left( {a - 1} \right) + \frac{1}{{17}}\]
Tương tự với $b$ rồi cộng lại ta được:
$P \ge \frac{2}{{17}}$. Dấu = khi $a=b=1$.

Cách giải khác cho bài này

Sử dụng BĐT phụ $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}$ với $x,y\ge1$ ta có

$P=\frac{1}{1+{(3a^2+1)}^2}+\frac{1}{1+{(3b^2+1)}^2}\ge\frac{2}{{(3a^2+1)}{(3b^2+1)}}$

ta có $1+(3a^2+1)(3b^2+1)=9t^2-6t+14\le17$ với $t=ab$ và t thuộc đoạn từ 0 đến 1

Từ đó suy ra $P\ge\frac{2}{17}$ .Dấu = xảy ra khi $a=b=1$