sieu dao chich

Cho các số $a,b,c$ thuộc $[0,\frac{1}{2}]$ thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh rằng

$$a^3+b^3+c^3+4abc\leq\frac{9}{32}$$

Toc Ngan : Topic bị khóa do đặt sai tiêu đề

Cho $a,b,c>0$Chứng minh rằng

$$P=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a^2}}\leq\frac{3}{\sqrt{2}}$$

Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$$ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq4$$

Cho a,b,c là các số dương, chứng minh rằng

$$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq\frac{3}{\sqrt{2}}$$

Mình làm thế này không biết có ổn không, mong mọi người xem giúp

Giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có $\sqrt{2}VT=\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b(a+b)}{(a+b)(b+c)}}+\sqrt{\frac{c2(b+c)}{(b+c)(c+a)}}$

                            $\leq\frac{1}{2}(1+\frac{2a}{a+b}+ \frac{2b}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{2(b+c)}{c+a)}  $

                             $=2+\frac{b+c}{c+a}$

Ta cần chứng minh $\frac{b+c}{c+a}\leq1$<=>$b\leq a$ 

Từ đó suy ra điều phải chứng minh , dấu = xảy ra khi $a=b=c$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b=c=3$,chứng minh bất đẳng thức sau

$$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\geq3$$