vipo107

Bài 2: Tìm ba chữ số tận cùng của số $1993^{1994^{1995^{...^{2000}}}}$.

Lời giải: 

Đặt $B=1996^{1997^{...^{2000}}}$, $C=1995^{B}$ thì C = 10m + 5 (m là một số nguyên dương). Tiếp tục đặt $D=1994^{C}=1994^{10m}.1994^{5}$.

Dễ dàng chứng minh được $1994^{10}\equiv 76(mod100)\Rightarrow 1994^{10m}\equiv 76(mod100)$.

Từ đó suy ra $D=1994^{C}\equiv 76.24\equiv 24(mod100)$. Do đó D = 20n + 4 (n là một số nguyên dương). Do đó: 

$A=1993^{D}=1993^{20n}.1993^{4}$

Dễ chứng minh được $1993^{4}\equiv 401(mod1000);1993^{20}\equiv 1(mod1000)\Rightarrow 1993^{20n}\equiv 1(mod1000).$ 

Từ đó ta có $A\equiv 401(mod1000)$, hay nói cách khác ba chữ số tận cùng của A là 401.

Mình mới lên nên cần học hỏi, mong mọi người giúp đỡ...

CMR : \[{n^5}m - n{m^5} \vdots 3\]

Mình mới lên nên cũng còn hơi non, mong các bạn giúp đỡ: Ta có $m^{5}n-mn^{5}=mn(m^{4}-1)-mn(n^{4}-1)$. Nhận xét thấy nếu một trong hai số chia hết cho 3 thì ta có biểu thức chia hết cho 3. Nếu cả hai số đều chia hết chỏ thì quá tốt. Nếu ko thì ta thấy các biểu thức có dạng $a^{4}-1\vdots (a^{2}-1)\vdots 3$ (theo định lí Fermat). Vậy ta có đpcm.