nhox sock tn

Tìm (x;y) với y lớn nhất thỏa mãn phương trình $x^{2}+y^{2}+6x-3y-2xy+7=0$. Tính x-y

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn; AC cắt BD tại E. Nếu $\widehat{BAD}=75^{\circ};\widehat{ABC}=85^{\circ};\widehat{AEB}=100^{\circ}$. Tính $\widehat{CAD}$

Cho đường tròn (O;2). Tam giác ABC thay đổi và luôn ngoại tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt các đoạn AB, AC lần lượt tại M và N. Tính GTNN của diện tích tam giác AMN.

Tính tổng các nghiệm của phương trình $(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+3}-3)...(\sqrt{x+100}-100)=0$

Cho hai số a, b thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=4a+2b+540$. Tính GTLN của biểu thức P=23a+4b+2013

Cho x, y là số thực sao cho $x+y;x^{2}+y^{2};x^{4}+y^{4}$ là các số nguyên. Chứng minh rằng: $x^{3}+y^{3}$ cũng là số nguyên.

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\\\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^{2}}=4\end{matrix}\right.$

Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp (O;R). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Chứng minh rằng:

$\frac{AB}{CD}+\frac{CD}{AB}+\frac{BC}{AD}+\frac{AD}{BC}\leq \frac{IA}{IC}+\frac{IC}{IA}+\frac{IB}{ID}+\frac{ID}{IB}$

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O), đường cao AH. Gọi D là giao điểm của AO với BC. CMR:$\frac{HB}{HC}+\frac{DB}{DC}\geq 2\frac{AB}{AC}$

Cho tam giác ABC, đường cao AH. Trung tuyến BM cắt phân giác CD ở K thỏa mãn KB=KC. Đường thẳng vuông góc với KB tại K cắt BC tại E. Tính tỉ số $\frac{EH}{EC}$ theo tỉ số $k=\frac{AC}{BC}$

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BA TRI                                            ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9

                                                                                                                 Năm học: 2013-2014 Môn: Toán

                                                                                                       Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (4 điểm)

     a) Cho biểu thức $f(x)=(2x^{3}-21x-29)^{2013}$. Tính $f(a)$ với $a=\sqrt[3]{7+\sqrt{\frac{49}{8}}}+\sqrt[3]{7-\sqrt{\frac{49}{8}}}$

     b) Với a, b, c là các số tự nhiên, chứng minh rằng:

          $B=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$ không phải là số nguyên.

Câu 2: (4 điểm)

     a) Cho $x\geq 1, y\geq 1$. Chứng minh $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}$

     b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

          $P=\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}$

Câu 3: (4 điểm)

     a) Giải phương trình $x^{2}-2x+3=2\sqrt{2x^{2}-4x+3}$

     b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}xy+x+y=3\\ \frac{1}{x^{2}+2x}+\frac{1}{y^{2}+2y}=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.$

Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF $(D \epsilon BC, E \epsilon CA, F \epsilon AB)$. Đường thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG cắt (O) tại M.

     a) Chứng minh bốn điểm A, M, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

     b) Gọi N là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng GH vuông góc với AN.

Câu 5: (5 điểm)

     a) Cho tam giác nhọn ABC, gọi O là điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh: $\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}=1$

     b) Cho tam giác ABC cân có $\widehat{A}=120^{\circ}$ nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Hai điểm D, E chuyển động trên cung lớn BC của (O) sao cho DE=R; tia AD nằm giữa hai tia AB, AE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD, CE. Tìm vị trí của D, E để diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhấ đó là bao nhiêu?

@@: Mấy đề này khó phết !

Lời giải. Nối $AN$. Ta có $S_{ANB}= x S$ và $S_{AMN}=xS_{ANB}= x^2S$.

Nối $MC$. Ta có $S_{MAC}=xS$ và $S_{MCE}=xS_{MAC}=x^2S$.

Nối $BE$. Ta có $S_{BCE}=xS$ và $S_{NBE}=xS_{BCE}= x^2S$.

Vậy $S_{MNE}=S(1+3x^2+3x)$.

Nếu là thế này thì chắc là tìm diện tích nhỏ nhất của $MNE$ thôi, tức $\min S_{MNE}= \frac 14 S$ đạt được khi $x= \frac 12 $.

nho~ nhat' ma` pan???

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình bằng phương pháp sắp thứ tự các ẩn:

$\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{9}{xyz}=1$

Cho x,y là số không âm thỏa $x^{2}+y^{2}=1$.

Tìm GTNN của $P=\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y}$

Cho các số thực dương x,y,z thoả $x+y+z=2008$. Chứng minh rằng:

$\frac{x^{4}+y^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}+z^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}+x^{4}}{z^{3}+x^{3}}\geq 2008$