Valar Morghulis

Đây là 4 dạng trung bình của 2 số $x,y$: trung bình cộng (arithmetic mean), trung bình nhân (geometric mean), trung bình điều hoà (harmonic mean), giá trị hiệu dụng (quadratic mean) nhưng tất cả đều tuân theo dạng trung bình tổng quát (generalized mean), các bạn có thể tham khảo tại đây.

Vì vậy, nếu chọn $x=y=\alpha, \alpha > 0$ thì ta có:

$\frac {x+y} {2}=\frac {\alpha+\alpha} {2}=\alpha$

$\sqrt {xy} =\sqrt{\alpha^{2}}=\alpha$

$\frac {2xy} {x+y} = \frac {2\alpha^2} {2\alpha} = \alpha$

$\sqrt{\frac {x^{2} + y^{2}} {2}} = \sqrt{\frac {2\alpha^{2}} {2}} = \alpha$

Rõ ràng khi $x=y$ thì các trung bình của chúng đều bằng nhau.

Vậy $\alpha+\alpha+\alpha+\alpha=66 \Leftrightarrow\alpha=\frac{66}{4}$

Thử lại thấy đúng, vậy $\exists x=y=\frac{66}{4}$ thoả yêu cầu đề bài

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:

$f(\left | x \right |+y+f(y+f(y))) = 3y+\left | f(x) \right |, \forall x, y \in \mathbb{R}$

Mình học ở PTNK ở TP Hồ Chí Minh

Cho tam giác $ABC$ nhọn, $I$ là trung điểm $BC$ và hai điểm $M, N$ thay đổi trên cạnh $BC$ ( $M$ thuộc đoạn $BN$) sao cho $\angle BAM = \angle CAN =\alpha$. Dựng $BH \perp AM$ và $CK \perp AN$ ( $H$ thuộc $AM$, $K$ thuộc $AN$)

$a)$ Chứng minh rằng tâm của đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $IHK$ luôn nằm trên một đường cố định.

$b)$ Xác định $\alpha$ theo $\angle ABC$ và $\angle ACB$ để $(O)$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $AB$ hoặc đường tròn đường kính $AC$.

(Trích đề thi đội tuyển trường mình)

Tìm số thực $a$ nhỏ nhất sao cho $2(x^{a} + \frac {1} {x^{a}} +1) \geq 3(x + \frac {1} {x}), \forall x>0$

Đây là đề thi đội tuyển trường mình. Có câu $a)$ nữa : CMR: $2(x^{\frac {4} {3}} + \frac {1} {x^{\frac {4} {3}}} +1) \geq 3(x + \frac {1} {x}), \forall x>0$

nhưng có người giải được rồi, còn câu $b)$ này chưa biết làm.

Tam giác $ABC$ cân có $AB=AC$, $AH \perp BC$ ($H$ thuộc $BC$). Đường tròn $(O)$ luôn đi qua điểm $H$ và có tâm $I$ di chuyển trên đoạn $AH$. Giả sử $(O)$ cắt cạnh $AB$ tại $M, N$ và cắt cạnh $AC$ tại $P, Q$ ($M$ thuộc đoạn $AN$, $P$ thuộc đoạn $AQ$). Gọi $E, F$ lần lượt là giao điểm của $BP, BQ$ với $(O)$. Chứng minh giao điểm của $NE$ và $MF$ luôn là một điểm cố định.

Đây là đề TST trường mình.

a) CMR: $ 2(x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{ x^{\frac{4}{3}} }+1)\geq 3(x+ \frac{1}{x}), \forall x>0$

b) Tìm số thực $a$ nhỏ nhất sao cho $2(x^{a} + \frac{1}{ x^{a} }+1)\geq 3(x+ \frac{1}{x}), \forall x>0$

Đây là đề TST trường mình. Mong được mọi người chỉ giáo.

Công thức tổng quát nghiệm ( cái này mình tính theo dãy số với sai phân nên hơi lằn nhằn)

$x=\frac{1}{24}(-2(5-2\sqrt{6})^{2n+1}-\sqrt{6}(5-2\sqrt{6})^{2n+1} -2(5+2 \sqrt{6})^{2n+1} + \sqrt{6}(5+2\sqrt{6})^{2n+1}-4)$

$y=\frac{1}{4}(\frac{1}{6}(3(5-\sqrt{6})^{2n+1} + \sqrt{6}(5-2\sqrt{6})^{2n+1} + 3(5+2\sqrt{6})^{2n+1}-\sqrt{6}(5+2\sqrt{6})^{2n+1})-1)$

Với $n\geq 1, n\in \mathbb{Z}$

Tìm  tất cả số tự nhiên $n$ sao cho:

$A_{n}=1+3^{20(n^{2}+n+1)}+9^{14(n^{2}+n+1)}$ là số nguyên tố.

Đây là đề TST trường mình, mong được chỉ giáo.

$(x; y) = (18; 22)$

$(x; y)= (1780; 2180)$

Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện:

$a) f(mf(n)) = n^{6}f(mn), \forall m, n \in \mathbb{N}^{*}$

$b)$ Nếu $m, n$ nguyên tố cùng nhau thì $f(m), f(n)$ nguyên tố cùng nhau.

Đây là đề TST trường mình. Để giải được bài này thì ta phải dùng phương pháp nào, mong được chỉ giáo ?

$\begin{cases} x + y = 3 \\ xz + yt = 5 \\ xy^{2} + yt^{2} = 41 \\ xz^{3} + yt^{3} = 121 \end{cases}$

Đây là một bài ứng dụng đơn giản của nguyên lý cực hạn.

Giả sử 100 số đó là $a_{1} \geq a_{2} \geq ... \geq a_{100} >0$.

Nếu như $a_{1} \geq 100$, thì $a_{1} + a_{2} + a_{3} > 100$.

Do đó, ta chỉ cần chứng minh với $a_{1} <100$.

Khi đó $100 - a_{1} >0, 100 - a_{2} >0, a_{1} -a_{3}\geq 0, a_{2} - a_{3} \geq 0$.

Vì vậy:

$100(a_{1} + a_{2} + a_{3}) \geq 100(a_{1} + a_{2} + a_{3}) - (100 - a_{1})(a_{1} -a_{3}) - (100 - a_{2})(a_{2} - a_{3}) = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}( 300 - a_{1} - a_{2}) > a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}( a_{3} + a_{4} + ... + a_{100}) \geq a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + ... + a_{100}^{2} > 10000.$

Suy ra, $a_{1} + a_{2} + a_{3} >100$