Đây là 4 dạng trung bình của 2 số $x,y$: trung bình cộng (arithmetic mean), trung bình nhân (geometric mean), trung bình điều hoà (harmonic mean), giá trị hiệu dụng (quadratic mean) nhưng tất cả đều tuân theo dạng trung bình tổng quát (generalized mean), các bạn có thể tham khảo tại đây.
Vì vậy, nếu chọn $x=y=\alpha, \alpha > 0$ thì ta có:
$\frac {x+y} {2}=\frac {\alpha+\alpha} {2}=\alpha$
$\sqrt {xy} =\sqrt{\alpha^{2}}=\alpha$
$\frac {2xy} {x+y} = \frac {2\alpha^2} {2\alpha} = \alpha$
$\sqrt{\frac {x^{2} + y^{2}} {2}} = \sqrt{\frac {2\alpha^{2}} {2}} = \alpha$
Rõ ràng khi $x=y$ thì các trung bình của chúng đều bằng nhau.
Vậy $\alpha+\alpha+\alpha+\alpha=66 \Leftrightarrow\alpha=\frac{66}{4}$
Thử lại thấy đúng, vậy $\exists x=y=\frac{66}{4}$ thoả yêu cầu đề bài
- Zaraki và Mai Duc Khai thích