Valar Morghulis

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow\mathbb{N}^{*}$ thoả:

$\left\{\begin{matrix}f(m)>f(n)\ \forall m,n\in \mathbb{N}^{*}\wedge m>n\\ f(f(n))=4n+9\ \forall n\in\mathbb{N}^{*}\\f(f(n)-n)=2n+9\ \forall n\in \mathbb{N}^{*}\end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix}ax-aby+\frac{1}{xy}=bc^{2}\\abz-bc^{2}x+\frac{1}{xz}=a\\ bc^{2}y-az+\frac{1}{yz}=ab\end{matrix}\right.$

Với mỗi $n$ nguyên dương, gọi $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$.

Chứng minh rằng các số $999$ và $2999$ không thể phân tích ra được dạng $a+b$ sao cho $S(a)=S(b)$

Cho $P(x)=(x+1)^{p}(x-3)^{q}=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n}$

Biết $a_{1}=a_{2}$.

CMR: $3n$ là số chính phương.

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thoả mãn:

$f(f(x))=f(x) + x, \forall x \in \mathbb{R}$