holmes2013

Ta có thể sử dụng định lý Cauchy-Davenport để giải bài này. Xét ba tập $A= \left \{ ax^2 \mid x < \tfrac p2 \right \}, A= \left \{ by^2 \mid y < \tfrac p2 \right \}, C= A= \left \{ cz^2 \mid z < \tfrac p2 \right \}$.

Do các số $x,y,z$ không thể đồng thời chia hết cho $p$ nên theo định lý thì $$\mid A+B+C \mid \ge \min \left \{ \frac{p+1}{2}+\frac{p+1}{2}+ \frac{p-1}{2}-2,p \right \}=p.$$

Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh.

Bạn có cách giải nào sơ cấp hơn không

Bạn nào có tài liệu về các phương pháp đếm nâng cao có thể cho mình xin được không? Cảm ơn nhiều!

Bài 2. Cho các số thực dương $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $$ab+ac+ad+bc+bd+cd=6.$$ Chứng minh rằng $$\frac{1}{a^2+1}+ \frac{1}{b^2+1}+ \frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1} \ge 2$$

(Gặp gỡ Toán học lần V năm 2013 - Lớp 12)

Mình nghĩ bài này chỉ cần sử dụng đánh giá sau: $\frac{1}{1+x^{2}}\geq 1-\frac{x}{2}$ với $x> 0$

Cho mình hỏi là các "bộ số" ở đây có nghĩa gì nhỉ , có phải là các bộ ở đây có nghĩa là tổng ở các hàng hay ở các cột đúng không, ví dụ như tổng ở cột 1 là 21 thì số 21 là một "số" của "bộ số" của Bình ????

Đúng rồi đó bạn à

Thực chất bài toán là đi tìm GTNN và GTLN của $A=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$

Dễ thấy $A \geqslant 1$ theo AM-GM

Do $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác nên $a<b+c, \Rightarrow a^2<ab+ac$

Tương tự ta cũng có $b^2<ab+bc$

                                 $c^2<ca+cb$

Khi đó $a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)$

Vậy $1 \leqslant A <2$

Theo mình thì bạn còn phải chứng minh thêm : A nhận tất cả các giá trị thuộc [1;2)