holmes2013

Cho hai số nguyên dưong phân biệt $p,q$ nguyên tố cùng nhau. Dãy $\left ( x_{n} \right )$ xác định như sau:  $x_{0}=0$;  $x_{k+1}=x_{k}-q$ nếu $x_{k}-q> 0$ và chưa xuất hiện trong dãy; trong trường hợp ngược lại thì $x_{k+1}=x_{k}+p$. Chứng minh: Mỗi số tự nhiên xuất hiện đúng 1 lần trong dãy

Trên vòng tròn cho n điểm $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ theo chiều kim đồng hồ. Viết vào đỉnh $A_{i}$ số nguyên dương $a_{i}$. Sau đó thay số ở đỉnh  $A_{i}$ thành số $b_{i}=\left [ \frac{a_{i-1}+1}{2} \right ]+\left [ \frac{a_{i}+1}{2} \right ]$. Tiếp tục làm tương tự như trên. CMR: Sau hữu hạn bước, các số trên các n đỉnh sẽ bằng nhau

CMR: Với mỗi số nguyên dương n, tồn tại số nguyên tố có dạng $p=k.6^{n}+2.3^{2^{n-1}}-1$

Cho a, b, c là các số nguyên và p là 1 số nguyên tố. CMR: Tồn tại các số nguyên x, y, z không đồng thời chia hết cho p sao cho $p \mid ax^{2}+by^{2}+cz^{2}$

Cho các số hữu tỉ không âm $x_{1};x_{2};...;x_{n}$ thỏa mãn $\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}+...+\sqrt{x_{n}}\in \mathbb{Q}$. Chứng minh: $\sqrt{x_{1}};\sqrt{x_{2}};...;\sqrt{x_{n}}$ là các số hữu tỉ

Chia tập $\left \{ 1;2;3;...;2n \right \}$ thành 2 tập con $\left \{ a_{1};a_{2};...;a_{n} \right \}$ và $\left \{ b_{1} ;b_{2};...;b_{n}\right \}$ thoả mãn $a_{1}< a_{2}< ...< a_{n}$ và $b_{1}> b_{2}> ...> b_{n}$. Chứng minh: $\sum_{i=1}^{n}\left | a_{i}-b_{i} \right |= n^{2}$

Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2$. Tìm giá trị lớn nhất:

$A= \left ( \left | a-b \right | +\sqrt{6}\right )\left ( \left | b-c \right |+\sqrt{6} \right )\left ( \left | c-a \right |+\sqrt{6} \right )$

Bạn nào có tài liệu về các phương pháp đếm nâng cao có thể cho mình xin được không? Cảm ơn nhiều!

Mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bởi 1 trong n màu. Vẽ $2^{n}-1$ đường tròn phân biệt $\left ( C_{i} \right ) \left ( 1\leq i\leq 2^{n}-1 \right )$ có cùng tâm O. Kẻ các bán kính tương ứng $OA_{i}\left ( 1\leq i\leq 2^{n} -1\right )$ của các đường tròn sao cho 2 bán kính bất kì không có điểm chung nào khác O. Chứng minh: Tồn tại chỉ số k $\left ( 1\leq k\leq 2^{n} -1\right )$ sao cho trên đường tròn $\left ( C_{k} \right )$ và trên đoạn $OA_{k}$ tồn tại 2 điểm $X_{k}, Y_{k}$ tương ứng thoả mãn 2 điểm đó cùng màu $\left ( Y_{k}\neq O, Y_{k}\neq A_{k} \right )$

Cho 1 tam giác được đặt hoàn toàn trong 1 hình vuông cạnh bằng 1 sao cho tâm của hình vuông nằm ngoài tam giác. Chứng minh: Tồn tại 1 cạnh của tam giác có độ dài nhỏ hơn 1

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $\left ( O;R \right )$ có trọng tâm G. $BC=a, AC=b,AB=c$. Chứng minh: $GA + GB + GC \geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3R}$

Cho $a_{i}\in \left \{ 1,2,...,n \right \}$ đôi một khác nhau ($i=\overline{1,n}$). Tìm giá trị lớn nhất:

$A=\sum_{i=1}^{n}\left | a_{i}-i \right |$

Tồn tại hay không các số nguyên dương x,y,z lớn hơn $10^{10}$, đôi một nguyên tố cùng nhau thoả mãn $x^{8}+y^{8}+z^{8}\vdots x^{4}+y^{4}+z^{4}$

Điền các số tự nhiên từ 1 đến 49 vào bảng ô vuông 7x7, mỗi số chỉ được điền 1 lần. Bạn An tính tích các số theo hàng ngang. Bạn Bình tính tích các số theo cột dọc. Hỏi có tồn tại cách điền số sao cho các bộ số của An và Bình giống hệt nhau hay không?

Bài 2. Cho các số thực dương $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $$ab+ac+ad+bc+bd+cd=6.$$ Chứng minh rằng $$\frac{1}{a^2+1}+ \frac{1}{b^2+1}+ \frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1} \ge 2$$

(Gặp gỡ Toán học lần V năm 2013 - Lớp 12)

Mình nghĩ bài này chỉ cần sử dụng đánh giá sau: $\frac{1}{1+x^{2}}\geq 1-\frac{x}{2}$ với $x> 0$