holmes2013

Cho hai số nguyên dưong phân biệt $p,q$ nguyên tố cùng nhau. Dãy $\left ( x_{n} \right )$ xác định như sau:  $x_{0}=0$;  $x_{k+1}=x_{k}-q$ nếu $x_{k}-q> 0$ và chưa xuất hiện trong dãy; trong trường hợp ngược lại thì $x_{k+1}=x_{k}+p$. Chứng minh: Mỗi số tự nhiên xuất hiện đúng 1 lần trong dãy

Trên vòng tròn cho n điểm $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ theo chiều kim đồng hồ. Viết vào đỉnh $A_{i}$ số nguyên dương $a_{i}$. Sau đó thay số ở đỉnh  $A_{i}$ thành số $b_{i}=\left [ \frac{a_{i-1}+1}{2} \right ]+\left [ \frac{a_{i}+1}{2} \right ]$. Tiếp tục làm tương tự như trên. CMR: Sau hữu hạn bước, các số trên các n đỉnh sẽ bằng nhau

CMR: Với  mỗi số nguyên dương n, tồn tại số nguyên tố p sao cho $p-1$ và $p+1$ có ít nhất n thừa số nguyên tố trong khai triển

CMR: Với mỗi số nguyên dương n, tồn tại số nguyên tố có dạng $p=k.6^{n}+2.3^{2^{n-1}}-1$

Cho a, b, c là các số nguyên và p là 1 số nguyên tố. CMR: Tồn tại các số nguyên x, y, z không đồng thời chia hết cho p sao cho $p \mid ax^{2}+by^{2}+cz^{2}$