TKD

$y'=0\Leftrightarrow x^{3}-m^{2}x=0$
Gọi A,B,C lần lượt là các điểm cực trị $\Rightarrow A(0,1),B(m,1-m^{4}),C(-m,1-m^{4})$
Tam giác ABC cân tại A nên góc $120^{0}$ chính là góc A.
Ta có: $\underset{AB}{\rightarrow}(m;-m^{4}),\underset{AC}{\rightarrow}(-m,-m^{4})$
$cos\widehat{A}=120^{0}\Leftrightarrow \frac{\underset{AB}{\rightarrow}\underset{AC}{\rightarrow}}{\left | \underset{AB}{\rightarrow} \right |\left | \underset{AC}{\rightarrow} \right |}=\frac{-1}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{m^{8}-m^{2}}{m^{8}+m^{2}}=\frac{-1}{2}$
$\Leftrightarrow m=\frac{1}{\sqrt[6]{3}}hoặc m=\frac{-1}{\sqrt[6]{3}}$

 

Đến đây thì dùng công thức nghiệm tổng quát....

Ngoài công thức nghiệm ta có thể đặt ẩn phụ:

Đặt x=cost($0\leq t\leq \Pi$, phương trình trở thành:$ 8cos^{3}t-6cost+1=0$
$\Leftrightarrow 2(4cos^{3}t-3cost)=0$
$\Leftrightarrow cos3t=\frac{-1}{2}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
t=\frac{2\Pi }{9}+\frac{k2\Pi }{3} & \\
t=\frac{-2\Pi }{9}+\frac{k2\Pi }{3} &
\end{bmatrix}$

Kết hơp với điều kiện $\Rightarrow t=\frac{2\Pi }{9},t=\frac{8\Pi }{9},t=\frac{4\Pi }{9}$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $x=cos\frac{2\Pi }{9},x=cos\frac{8\Pi }{9},x=cos\frac{4\Pi }{9}$

y'=$4x^{3}-4mx$

Gọi A,B,C lần lượt là các diểm cực trị $\Rightarrow A(0,2),B(-\sqrt{m},-m^{2}+2),C(\sqrt{m},-m^{2}+2)$

Gọi O(a,b) là tâm dường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vậy yêu cầu bài toán trở thành: $\left\{\begin{matrix} OA^{2}=OD^{2} & \\ OB^{2}=OC^{2} & \\ IB^{2}=IA^{2} & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a-b+1=0 & \\ 2a\sqrt{m}=-2a\sqrt{m} & \\ (a+\sqrt{m})^{2}+(b+m^{2}-2)^{2}=a^{2}+(b-2)^{2} & \end{matrix}\right.$

Giải hệ ta được m=1 là nghiệm.

Vậy m=1 thỏa YCBT

Tính phân đề cho trở thành: $\int_{0}^{\frac{\Pi }{4}}\frac{sinx}{sinx+cosx}dx$

Đặt A=$\int_{0}^{\frac{\Pi }{4}}\frac{sinx}{sinx+cosx}dx$, B=$\int_{0}^{\frac{\Pi }{4}}\frac{cosx}{sinx+cosx}dx$

Ta tính: A+B=$\int_{0}^{\frac{\Pi }{4}}dx$=$\frac{\Pi }{4}$

            A-B=$\int_{0}^{\frac{\Pi }{4}}\frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}dx$ ( đặt ẩn phụ t= sinx+cosx)=$-ln(\sqrt{2})$

Giải hệ phương trình ta được A=$\frac{\Pi }{8}-\frac{ln(\sqrt{2})}{2}$