AM GM

             Cho x, y, z thỏa mãn:

                     $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= \frac{1}{x+y+z}$

a, CMR: (x+y)(y+z)(z+x) = 0

b, Tính: M = $\frac{2}{7}+ (x^{8}-y^{8})(y^{9}+z^{9})(z^{10}-x^{10})$

đk $\Leftrightarrow (x+y+z)(xy+yz+zx)=abc\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=0$

$neu x=-y\Rightarrow (x^8-y^8)=0$

nếu y=-z$y=-z\Rightarrow y^9+z^9=0$

neu z=-x $\Rightarrow z^(10)-x^(10)=0$

suy ra M=2:7

 

[Update] Vừa cập nhật đề thi của ngày thứ hai. Bên dưới là đề thi đầy đủ.

 

 

 

Ngày 2 (24/07/2013)

 

Bài 4. Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$, và $W$ là một điểm trên cạnh $BC$, nằm giữa $B$ và $C$. Các điểm $M$ và $N$ theo thứ tự là chân các đường cao hạ từ các đỉnh $B$ và $C$. Gọi $\omega_1$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BWN$, và $X$ là một điểm trên đường tròn sao cho $WX$ là đường kính của $\omega_1$. Tương tự, $\omega_2$ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác $CWM$, và $Y$ là điểm sao cho $WY$ là đường kính của $\omega_2$. Chứng minh rằng ba điểm $X, Y$ và $H$ thẳng hàng. 

 

 

 

 

Mời các bạn cùng thảo luận.

 

may em không có geo nen không vẽ đc hình mong cac anh thông cảm

đầu tiên gọi giao của 2 đtron la T ;CM đc AMTN;BNTW;TMCW nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{NTA}= \widehat{NMA}=\widehat{ABC}= 180^{\circ}-\widehat{NTW}\Rightarrow A ;T;W$ thẳng hàng

lại có $\widehat{NXW}= \widehat{NBW}= \widehat{NHA}$ MÀ $\widehat{HNA}= \widehat{XNW}= 90^{\circ}\Rightarrow \Delta NHA$ ĐÒNG DẠNG $\Delta NXW\Rightarrow \Delta NXH$ đòng dạng $\Delta NWA$ SUY RA $\widehat{NXH}= \widehat{NWA}=\widehat{NWT}= \widehat{NXT}\rightarrow X;H;T$ THẢNG HÀNG

dễ dàng CM đc X ;T;Y thẳng hàng suy ra đpcm

BAI NAY THUA DK ABC=1

Tìm Max Q cũng như Ta tìm Min của $\sum \frac{1}{ab-7}\geq \frac{9}{\sum ab-21}\geq \frac{9}{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}-21}$. Thay a+b+c=6 Vào là xong

tớ nghĩ chỉ dùng đc như vậy khi  ab ;bc;ca>7chứ

Cho $a,b,c>0, a+b+c=1$. Chứng minh:

$ab\sqrt{a+b}+bc\sqrt{b+c}+ca\sqrt{c+a}\leq \frac{1}{2}\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}$

thay 1 =a+b+c BDT $\Leftrightarrow \sum ab\sqrt{a+b}\leq \frac{1}{2}\sqrt{\prod (a+b)}\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}\leq \frac{1}{2}$

lại có$\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}\leq (\sum (\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c})):2= \frac{a+b+c}{2}= \frac{1}{2}$

suy ra đpcm