dotandung

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                      KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

        HẢI PHÒNG                                                                                             Năm học 2014 - 2015

                                                                                                                  ĐỀ THI MÔN TOÁN CHUYÊN

                                                                                                                      Thời gian 150 phút

Bài $1$:

a) Cho $A$=$\frac{x+1}{\sqrt{x}}-(\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}})$. Tìm $x$ sao cho $A$=$\frac{1}{2}$

b) Tìm số nguyên dương $m$ đế phương trình $(m+1)x^{2}-5mx+4m=0$ có hai nghiệm phân biệt$x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}+x_{2}+\frac{1}{2}x_{1}x_{2}$ là số nguyên

Bài $2$:

a) Giải phương trình:$\sqrt{10-x}+\sqrt{3+x}+2\sqrt{30+7x-x^{2}}=17$

b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}\\y=\sqrt{3x-2} \end{matrix}\right.$

Bài $3$:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. $(O)$ là nửa đường tròn đường kính $AB$( $(O)$ nằm trong nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa $C$). Một đường thẳng đi qua $C$ cắt nửa đường tròn $(O)$ tại $D,E$ ($D$ nằm giữa $C,E$ ) sao cho $\widehat{EAC}<90^0$. Qua $D$ dựng đường thẳng vuông góc với $CE$, cắt $AC$ tại $F$. Hạ $CK\bot EF(K\in EF);EH\bot AC(K\in AC)$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $EDK$ cắt $AD$ tại $I(I\neq D)$. $AC,KI$ cắt nhau tại $M$.

a) Chứng minh rằng bốn điểm $A,E,K,M$ cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh rằng $CA^{2}=CF.CH$

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $EDM$ tiếp xúc với $AC$

Bài $4$:

Cho ba số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

Chứng minh: $\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}z^{2}}\geq \sum xy+1$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?

Bài $5$:

a) Cho hai số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $13(a^{2}+b^{2})+2014ab \vdots 15^{2}$

Chứng minh rằng: $ab\vdots 15^{2}$

b, Giả sử $A=\left \{ a_{1};a_{2}...a_{30} \right \} $ $(a_{1}< a_{2}<...< a_{30})$ là một tập con của tập $\left \{ 1;2;3;4;...2014 \right \}$ thỏa mãn tính chất : với $a,b\in A$ tùy ý ($a,b$ có thể bằng nhau), nếu  $a+b\leq 2014$ thì $a+b$ cũng là một phần tử của $A$. Tìm GTNN của  $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{30}}{30}$