lethanhson2703

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{AC}=0$.

Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABM$. Biết: $\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{AB}=\frac{-a^2}{9}$.

Giá trị của $x$ là bao nhiêu? 

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$

$\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{AC}=0 \Rightarrow |\overrightarrow{AM}|=x.a\sqrt{2}$

Ta có: 

$\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}).\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}).\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}AB^2$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}MA.AB.cos135+\frac{1}{3}AB^2=-\frac{a^2}{9}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}.x.a\sqrt{2}.-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{3}a^2=-\frac{a^2}{9}\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}a$

Nhận xét: Số có 4 cso tm đề bài không thể có số 0 

Nếu $a<b<c<d$ thì có $C^4 _9$ cách

Nếu có 2 chữ số giống nhau, 2 chữ số khác: $2.C^3 _9$

Nếu có 3 chữ số giống nhau, 1 chữ số khác: $C^2_9$

Tổng các chữ số thỏa mãn là: $C^4_9+2.C^3_9+C^2_9$

~~~~~~~~~~

Em không biết làm đúng không, mong nhận sự góp ý!

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$

$BC=a$ ; $AC=b$ ; $AB=c$.

Xác định điểm $I$ thỏa mãn hệ thức: $b^2 \overrightarrow{IB}+c^2\overrightarrow{IC}-2a^2\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}$

Tìm điểm $M$ sao cho biểu thức $A= b^2.MB^2+c^2.MC^2-2a^2.MA^2$ đạt giá trị lớn nhất

 Cho  $x,y,z$ là số thực cho trước thỏa mãn điều kiện $x+y+z=0$, $x+1>0$, $y+1>0$, $z+4>0$

Tìm : Max : $\frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} + \frac{z}{z+4}$

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$P=(\frac{x}{\sqrt{y}}+\sqrt{y})+(\frac{y}{\sqrt{x} }+\sqrt{x})-(\sqrt{x}+\sqrt{y})\geq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})-(\sqrt{x}+\sqrt{y})=\sqrt{x}+\sqrt{y}$

$P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}=(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y} })-(\sqrt{x}+\sqrt{y})$

CTV: $2P\ge\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge \frac{2}{\sqrt[4]{xy}}\ge \frac{2}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}}=2\sqrt{2}$

nên: $P\ge \sqrt{2}$

Chả biết đúng hay sai nữa :3

Đặt $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c}; z=\frac{c}{a}$

Khi đó ta có: 

$\sum \frac{1}{y^2+2yz}=\sum \frac{1}{(\frac{b}{c})^2+2.\frac{b}{a}}=\sum \frac{a^2c^2}{b^2a^2+2ab^2c}$

$\ge \sum \frac{(ab+bc+ca)^2}{\sum a^2b^2+2abc(a+b+c)}=1$

ĐPCM

Câu 5

a. $BDT \Leftrightarrow (x-y)^2\ge 0$

b. Ta có: $\frac{1}{2a+b+c}\le \frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})\le \frac{1}{4}[\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})]$

TT rồi CTV có ĐPCM

Hoặc chứng minh luôn bất đẳng thứ $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le abc$

CM:

Vì $a,b,c$ là cạnh của 1 tam giác nên $a+b-c >0$; $b+c-a>0$; $c+a-b>0$

TA có: $(a+b-c)(b+c-a)= b^2-(a-c)^2 \le b^2$

TT rồi ntv ta đc bất đẳng thức phụ đó

TA có: $\frac{a^2+9}{2a^2+(b+c)^2}=\frac{a^2+9}{2a^2+(3-a)^2}$

Xét: $\frac{a^2+9}{2a^2+(3-a)^2} - \frac{a}{3} - \frac{4}{3} = - \frac{(x-1)^2(x+3)}{3(x^2-2x+3)} \le 0$

Nên $\frac{a^2+9}{2a^2+(3-a)^2} \le \frac{a}{3} + \frac{4}{3}$

TT ta có đpcm

3. Vì $x=\sqrt{2}$ là 1 nghiệm của pt nên $2\sqrt{2}+2a+ \sqrt{2}b+c=0$

$\Leftrightarrow 2a+c=-2\sqrt{2}-\sqrt{2}b$

Vì $b$ là số hữu tỷ nên $\sqrt{2}b$ là số vô tỷ khi đó $2a+c$ là số vô tỷ ( vô lý vì $a,c$ là các số hữu tỷ)

Như vậy $-2\sqrt{2}-\sqrt{2}b=0$ nên $b=-2$

Do đó $2a+c=0$ thay vào pt timg a,b,c rồi pt thành nhân tử có ntu là $x-\sqrt{2}$ rồi đó

2. $\sqrt{x}+\sqrt{y}= \sqrt{1960}\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}=14\sqrt{10}$

VP của pt trên là số vô tỷ. Do đó $\sqrt{x};\sqrt{y}$ đều là những số vô tỷ và các căn này phỉa đồng dạng với $\sqrt{10}$

Tức là $\sqrt{x}=a\sqrt{10} ; \sqrt{y}=b\sqrt{10}$ $(a,b \ge 0; a,b \in Z)$

SUy ra $a+b=14$

Btoan có 15 nghiệm với mỗi gt của $a,b,$ tương ứng

Khi đó: $A= \frac{(xy)^3+(yz)^3+(zx)^3}{(xyz)^2}$

MẶt khác từ gt ta có: $xy+yz+zx=0$

Nên $(xy)^3+(yz)^3+(zx)^3=0$ nên $A=0$

Mình nghĩ đề phải tính : $A=\frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}$ 

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} log_2(3y-1)=x & \\ 4^x+2^x=3y^2 & \end{matrix}\right.$

với $x,y \in \mathbb{R}$