LIKIA

Dễ thôi ban, lấy đối xứng của A qua M được N, khi đó AN = 2AM = BD.
Mặt khác, dễ có tứ giác ABNC là hình thoi, BN // AC -> ADNB là hình thang có 2 đường chéo bằng nhau (AN, BD) nên là hình thang cân, từ đó có góc NAC = BDA, tức là A/2 = B/2 + C = 3B/2 => B = C = 36

Bạn nên xem lại cách gõ latex http://diendantoanho...?...35&hl=latex

Phân giác góc C cắt AB ở D. Theo tính chất của đường phân giác, ta có:

$\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{BD}{BC} = \dfrac{AD + BD}{AC + BC} = \dfrac{AB}{AC + BC}$

Điều phải chứng minh:

$tan(\dfrac{\alpha}{2}) = \dfrac{1-sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{1-\dfrac{AB}{BC}}{\dfrac{AC}{BC}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{AB}{AC + BC} = \dfrac{BC - AB}{AC}$
$\Leftrightarrow 2AB.AC = BC^2 + BC.(AC - AB)$
$\Leftrightarrow (AC - AB)^2 + BC.(AC - AB) = 0$
$\Leftrightarrow (AC - AB).(AC - AB + BC) = 0$
$\Leftrightarrow AB = AC$

Như vậy là phải có thêm điều kiện tam giác ABC cân tại A nữa thì mới đúng

$AC^2 = 4S_{ABC} = 2AB*AC*Sin(\hat{A}) = 2AC^2Sin(\hat{A}) \Rightarrow Sin(\hat{A}) = 1/2$

Từ đây suy ra A = 30, B = C = 75

Bài này có thể giải bằng PP phân tích bình phương như bạn macdangdung, các bạn có thể xem thêm về phương pháp này trên diễn đàn

PP S.O.S
PP S.O.S (2)

Mình nghĩ đề sai rồi. N là giao điểm cuả (d') và đường thẳng qua O vuông góc MP (ko phải MB). Và OM không thể bằng OB được.
a, Hiển nhiên MNP cân, do NO vừa là trung tuyến vừa là đường cao.
b, Do tính chất đối xứng trong tam giác cân, có ngay OI = OB = R, và như vậy MN tiếp xúc (O) (khoảng cách = bán kính)
c, AM.BN = BP.BN = OB^2 (do tam giác OPN vuông ở O, có OB là đường cao) = R^2
d, Mình nghĩ phải là diện tích OMN, vì diện tích AMN = R*AM => muốn nhỏ nhất thì cho MA = 0???
OMN min R*MN min MN min = AB (MN >= AB, dấu bằng khi AM = R)