vietnam123456789

1,

lấy $16PT(1)+PT(2)$ ta được $y^4+4(2x-3)y^2+4(2y-3)^2=25\Leftrightarrow [y^2+2(2x-3)]^2=25$

phần còn lại thì dễ rồi

 

sao biết lấy 16pt1 +PT2 vậy. Ai giải thích dùm với ạ

 

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R, BC cố định,A chạy trên đường tròn. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC chạy trên 1 đường tròn cố định?

 

Sử dụng phép biến hình là chứng minh được ??? Hoặc bạn xem sách giáo khoa hình học $11$ là có ngay  

Cách khác :

Làm tương tự như trên ta có :

$BM:(27-7X)x-(21-X)y=-5X-15;BC:(X-21)x-(27-7X)y=15X-75;BN:(7X-27)x-(X+19)y=5X-65$

Gọi $t$ là đt $x=0$; $M'=t\cap BM;N'=t\cap BN;C'=t\cap BC$ ---> $BN'$ là phân giác của $\Delta BM'C'$ và $M'(0;\frac{5X+15}{21-X});N'(0;\frac{65-5X}{X+19});C'(0;\frac{15X-75}{7X-27})$

$BM'^2=1+(\frac{7X-27}{21-X})^2=\frac{(X-21)^2+(7X-27)^2}{(X-21)^2}$

$BC'^2=1+(\frac{X-21}{7X-27})^2=\frac{(X-21)^2+(7X-27)^2}{(7X-27)^2}$

Dễ thấy $M,D,C$ là 3 điểm phân biệt ---> $BM'> 1;BC'> 1$ ---> $X\neq \frac{27}{7}$ và $X\neq 21$

$\overline{M'N'}=y_{N'}-y_{M'}=\frac{280X-1080}{(X-21)(X+19)}=\frac{40(7X-27)}{(X-21)(X+19)}$

$\overline{N'C'}=y_{C'}-y_{N'}=\frac{50X^2-380X+330}{(X+19)(7X-27)}=\frac{10(X-1)(5X-33)}{(X+19)(7X-27)}$

$\frac{BM'}{BC'}=\frac{\overline{M'N'}}{N'C'}$ ---> $\left | \frac{7X-27}{X-21} \right |=\frac{40(7X-27)(X+19)(7X-27)}{(X-21)(X+19).10(X-1)(5X-33)}$

+ Nếu $X\in (\frac{27}{7};21)$ ---> $\left | \frac{7X-27}{X-21} \right |=-\frac{7X-27}{X-21}$

...---> $-\frac{4(7X-27)}{(X-1)(5X-33)}=1\rightarrow 5X^2-10X+75=0\rightarrow X=-3$ (loại) và $X=5$ (nhận)

+ Nếu $0< X< \frac{27}{7}$ hoặc $X> 21$ ---> $\left | \frac{7X-27}{X-21} \right |=\frac{7X-27}{X-21}$

...---> $\frac{4(7X-27)}{(X-1)(5X-33)}=1\rightarrow 5X^2-66X+141=0\rightarrow X=\frac{33+\sqrt{384}}{5}$ (loại)

...và $X=\frac{33-\sqrt{384}}{5}$ (nhận)

Trường hợp hệ số góc của $DA$ là $-1$ cũng làm tương tự.

Em có 1 lời giải rất ngắn và hay không biết có sai không ạ.  mọi người kiểm tra giúp nhé  
Ta có tứ giác $BMDC$ nội tiếp $\rightarrow \widehat{BMC}=\widehat{BDC}=45$ $(1)$
mà $\Delta BMC$ vuông tại $B$ (theo gt)----------->$\Delta BMC$ vuông cân tại $B$
------> $BM$=$BC$
dễ dàng CM được $\Delta NMC$ cân tại $N$
--->$\widehat{NMC}=\widehat{NCM}$ $(2)$
từ $(1)$ và $(2)$ -----> $\widehat{BMN}=\widehat{BCN}$
Gọi $K$ và $H$ lần lượt là hình chiếu của $B$ lên $MN$ và $DC$
Xét $\Delta BKM$ và $\Delta BHC$
có $\widehat{BMN}=\widehat{BCN}$
$BM$=$BC$
$\widehat{BKM}=\widehat{BHC}=90$
------> $\Delta BMK=\Delta BHC$
------> $BK$=$BH$
ta có tứ giác $BADH$ là $hình vuông$(dễ dàng CM được)
--> $BH$=$BA$=$BD$=$DH$=$BK$
Xét $\Delta BAD$ vuông cân tại $A$
$BA^{2}+AD^2=BD^2$
-->$BD$=$\sqrt{BA^2+AD^2}$=$\sqrt{2BK^2}$
dễ dàng tính được $BK$=$\sqrt{8}$
-----> $BD$=4
gọi $D(x;2)$ $với x>0$
---> $BD$=$\sqrt{(x-1)^2}$=4
---> $x=5$ (thỏa mãn) và $x=-3$ (loại)
vậy $D(5;2)$

Em hãy vẽ ra đường tròn $(C)$ tùy ý và lấy điểm $M$ (tùy ý) ngoài đường tròn.

Dựng đường thẳng $t$ qua $M$ và tiếp xúc với $(C)$ tại $P$ (có 2 đt $t$ như vậy).Đường thẳng $t$ chính là đt chứa $B,C$

Trên $t$, lấy điểm $B$ tùy ý ($B\not\equiv P$) và qua $B$ dựng tiếp tuyến $Bu$ với $(C)$.

Dựng tiếp tuyến $Qv$ với $(C)$ sao cho $Qv//Bu$ ($Q\in t$)

Rõ ràng nếu chọn $C\in t$ sao cho $Q$ nằm giữa $B$ và $C$ thì tiếp tuyến với $(C)$ kẻ từ $C$ sẽ cắt $Bu$ tại $A$ sao cho $(C)$ là đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$.

Vì ứng với mỗi cách chọn $B$ có vô số cách chọn $C$ nên có vô số giao điểm $A$ ---> bài toán chưa đủ dữ kiện để giải.

Anh ơi điểm $M\epsilon  đt :BC$ ạ  chứ đâu phải tùy ý anh

Gọi tọa độ của $D$ là $D(X;2)$.Ta cần tìm $X(X> 0)$

Chú ý rằng $BD:y=2\Rightarrow BD$ // $Ox$

$\Delta DAB$ cân tại $A$ ---> $\widehat{ADB}=45^{o}$ ---> hệ số góc đt $DA$ là $1$ hoặc $-1$.

$1.$ TH 1 : Hệ số góc của $DA$ là $1$ ---> $DA:x-y-X+2=0$ và $DC:x+y-X-2=0$

$M=d\cap DA\Rightarrow M(\frac{27-X}{6};\frac{39-7X}{6})$

---> $BM:(27-7X)x-(21-X)y+5X+15=0$

Gọi $E=BM\cap CD\Rightarrow E(\frac{-X^2+14X+27}{48-8X};\frac{-7X^2+18X+69}{48-8X})$

$N=d\cap DC\Rightarrow N(\frac{X+27}{8};\frac{7X-11}{8})$

$BC$ _|_ $BM\Rightarrow BC:(X-21)x-(27-7X)y-15X+75=0$

$C=BC\cap DC\Rightarrow C(\frac{7X-21}{6};\frac{33-X}{6})$

Biết được tọa độ của $E,N,C$ có thể tính được $BE,BC,NE,NC$ (theo $X$) rồi lập pt $\frac{BE}{BC}=\frac{NE}{NC}$; giải ra tìm X

(Nguyên tắc là vậy nhưng các tọa độ lẻ quá nên tính toán khá vất vả)

$2.$ TH 2 : Hệ số góc của $DA$ là $-1\Rightarrow DA:x+y-X-2=0$ và $DC:x-y-X+2=0$ (làm tương tự phần trên)

(Không biết có cách nào hay hơn không ?)

em cũng làm như vậy nhưng em nghĩ phải có cách hay hơn chứ ạ. Tính toán dễ nhầm lắm ạ Mọi người ai có cách nào hay hơn không chỉ bảo mình với