Beethoven97

Đổi $x=\frac{2}{3yz},yz<\frac{1}{3}$ và đặt $y+z=S,yz=P,(P<\frac{1}{3})$ thì bất đẳng thức tương đương với: $9P^{2}S^{2}-6PS-27P^{3}+2>0$. Cái này có đenta nhỏ hơn 0 (vì P< 1/3), mà a>0 (a là hệ số trong biệt thức) nên bất đẳng thức cần chứng minh là đúng....

Cho đa thức $P(x)=a_{2014}x^{2014}+a_{2013}x^{2013}+...+a_{1}x+a_{0}$ có đúng 2014 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình sau có tối đa bao nhiêu nghiệm?

$2\sum_{i=0}^{2014}a_{i}x^{i}\sum_{i=2}^{2014}i(i-1)a_{i}x^{i-2}=(\sum_{i=1}^{2014}ia_{i}x^{i-1})^{2}$.

Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng: $2P(x).P"(x)=[P'(x)]^{2}$ và nếu đặt $G(x)=[P'(x)]^{2}-2P(x).P"(x)$ thì $G'(x)=-2P(x).P^{(3)}(x)$. Gọi $\alpha _{1};\alpha _{2};...;\alpha _{2014}$ là các nghiệm thực phân biệt của P(x)=0 thì bằng bảng biến thiên ta suy ra P'(x) có 2013 nghiệm thực phân biệt $\beta _{1};\beta _{2};...;\beta _{2013}$ thỏa mãn $\alpha _{1}<\beta _{1}<\alpha _{2}<\beta _{2}<...<\alpha _{2013}<\beta _{2013}<\alpha _{2014}$ tức là các nghiệm của P'(x)=0 khác so với các nghiệm của P(x)=0. Lặp luận tương tự ta có P"(x)=0 có 2012 nghiệm phân biệt khác với các nghiệm trên, $P^{(3)}(x)=0$ có 2011 nghiệm phân biệt và cũng khác với các nghiệm trên. Như vậy G'(x)=0 có 2014+2011=4025 nghiệm thực phân biệt. Do đó theo định lí Roll thì phương trình G(x)=0 có tối đa là 4026 nghiệm.....

Không bít có đúng không nhỉ?

* Sonata 32 (Final sonata):

.

(Cái này mình thích nhất...)

* Sonata 11:

.

* Sonata 3:

.

* Les Adieux sonata;

.

* Hammerklavier sonata:

.