NLBean

Bài 1;

Cho $u_{1}$ là số thực cho trước. Dãy ${u_{n}}$ xác định như sau

       $u_{n+1}=u_{n}(1-u_{n})$ , n=1,2,3,...

Tìm các giá trị của $u_{1}$ sao cho tồn tại giới hạn hữu hạn của dãy $u{n}$ nói trên

 

Xét hai trường hợp: 

1. $0 \leq u_{1} \leq 1$ . Bằng quy nạp, ta chứng minh được $0 \leq u_{n} \leq 1$ và $u_{n+1} \leq u_{n}$

Ta có $(u_{n})$ là dãy giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. Đặt $\lim U_{n} = L$

Thay vào công thức dãy suy ra L = 0 .

2. Nếu $u_{1} < 0$ hoặc $u_{1} > 0$ thì dễ dàng chứng minh $u_{n} < 0$. Đặt dãy phụ $v_{n} = -u_{n}$ thì $v_{n} > 0$ và $v_{n}$ là dãy đơn điệu tăng ( vì $v_{n+1} = v_{n}. (1 + v_{n})$ nên $v_{n+1} > v_{n}$)

giả sử $v_{n}$ bị chặn trên thì nó có giới hạn bằng $L'$ thỏa $L' > 0$. Thay vào công thức dãy $v_{n}$ thì $L' = 0$ ( vô lý)

Vậy các giá trị $u_{1}$ cần tìm là [0;1]

Cho dãy số {a_n} được xác định bởi

$a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \geq 1)$

Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}$ và $\lim \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n\sqrt{n}}$

Tìm $U_{n}$ , biết $U_{n+1} = \sqrt{2} + \sqrt{{U_{n}}^{2} + 1}$ và $U_{1} = 2$

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn $(O)$ với các đường cao $AD , BE , CF ; AA'$ là đường kính của $(O)$ . $A'B , A'C$ cắt $AC , AB$ lần lượt tại $M , N ; P , Q$ thuộc $EF$ sao cho $PB , QC$ vuông góc với $BC$ . Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $QN , PM$ lần lượt cắt $(O)$ tại $X , Y$. Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $X$ , $Y$ cắt nhau tại $J$ . Chứng minh rằng $JA'$ vuông góc với $BC$

Cho bốn điểm $A$ ,$B$ , $C$ , $D$ theo thứ tự nằm trên đường thẳng (e) . Tìm quỹ tích các điểm P trong mặt phẳng sao cho $\angle APB = \angle CPD$

Cho $b \neq 0$ và giả sử phương trình $x^{3} + ax^{2} + x + b = 0$ có ba nghiệm phân biệt $x_{1} , x_{2} , x_{3}$ . Chứng minh rằng:

$(x_{1} - \frac{1}{x_{1}})(x_{2} - \frac{1}{x_{2}}) + (x_{2} - \frac{1}{x_{2}})(x_{3} - \frac{1}{x_{3}}) + (x_{3} - \frac{1}{x_{3}})(x_{1} - \frac{1}{x_{1}}) = 4$

*Giải bằng lượng giác*

Tương tự cho hai trường hợp còn lại

Cách khác nằm ở đây ( kéo xuống)

http://olympiavn.org...topic=42334.285

Giả sử x , y , z là độ dài 3 cạnh của một tam giác và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 3$

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P = \sqrt{x + y - z} + \sqrt{y + z - x} + \sqrt{z + x - y}$

Xác định tất cả các cặp số nguyên (a,b) sao cho hai số $a^{2} + 4b$ và $b^{2} + 4a$ đều là những số chính phương

Cho tam giác ABC và $\alpha + \beta + \gamma  \neq 0$

CMR : $\alpha . CosA + \beta . CosB + \gamma . CosC \leq \frac{1}{2}(\frac{\alpha\beta}{\gamma} + \frac{\beta\gamma}{\alpha} + \frac{\alpha\gamma}{\beta})$

Giải hệ thống phương trình bốn ẩn $x,y,u,v$

$\left\{\begin{matrix} ux^{3} + vy^{3} = 14 \\  ux^{2} + vy^{2} = 5 \\  ux + vy = 2\\ u + v = 1 \end{matrix}\right.$

Cho $m , n$ là hai số tự nhiên sao cho $\sqrt{7} - \frac{m}{n} > 0$ . Chứng minh rằng $\sqrt{7}n - m > \frac{1}{m}$

Cho $p_{1} < p_{2} < p_{3} <.........$ là dãy tất cả các số nguyên tố . Chứng minh rằng bắt đầu từ chỉ số n nào đó , ta luôn có $p_{n} > 4n$

Sáu đội bóng A,B,C,D,E và F tham dự một giải vô địch .

Dưới đây là năm khẳng định khác nhau về hai đội có mặt trong trận chung kết

a. A và C ; b. B và E ; c. B và F ; d. A và F ; e . A và D

Biết rằng có bốn khẳng định đúng một nửa và một khẳng định sai hoàn toàn , hãy cho biết hai đội nào được thi đấu trong trận chung kết