Evil of lie

Cho các số nguyên dương x,y thoả mãn xy+x,xy+y là số chính phương, Chứng minh: Có đúng 1 trong 2 số x,y là số chính phương

Gán $xy + x = a^2, xy + y = b^2$

$\implies P = xy = a^2 - x = b^2 - y$

$\implies P^2 = (a^2  - x )(b^2 - y)$

$\iff P^2 - (a^2 + b^2 + 1)P + (ab)^2 = 0$

$P \in \mathbb Z\implies \sqrt{\Delta_P} \in \mathbb Z$

$\iff (a^2 + b^2 + 1)^2 - 4a^2b^2 = n^2\ (n \in \mathbb N)$

$\iff n^2 + (2ab)^2 = (a^2 + b^2 + 1)^2$ (Phương trình Pythagore) $(1)$

Giải phương trình này, thu được:
$P = \frac {a^2 + b^2 + 1 \pm n} 2$

Quay lại phương trình đầu, thấy $(x_0,y_0)$ là nghiệm thì $\left(-(x_0+1),-(y_0 + 1)\right)$ cũng là nghiệm

mà $-(x_0+1)\cdots[-(y_0 + 1)] = (x_0+1)(y_0 + 1) > x_0y_0$

Nói cách khác $TH$ nghiệm âm có $P$ lớn hơn $TH$ nghiệm dương nên

$P = \frac {a^2 + b^2 + 1 - n} 2 \implies x = \frac {a^2 - b^2 - 1 + n} 2$

 

Lại quay lại yêu cầu ban đầu,

$x \lor y$ chính phương

$\iff x \lor (x + 1)$ chính phương (vì $y(x+1) = b^2, x(y+1) = a^2$)

$\iff \frac {a^2 - b^2 - 1 + n} 2 \lor \frac {a^2 - b^2 + 1 + n} 2$ chính phương

Từ $\text{pt}(1) \implies a^2 + b^2 + 1 = k(p^2 + q^2), 2ab = k(2pq )$

Hoặc $a^2 + b^2 + 1 = k(p^2 + q^2), 2ab = k(p^2 - q^2)$

$\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star\star$

Đợi mình đi tắm $\to$ ăn cơm $\to$ ngủ đã, để mai giải tiếp.

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ thỏa mãn
\[ k=\frac{n}{1!}+\frac{n}{2!}+...+\frac{n}{n!}\in\mathbb{Z}. \]

Theo bài thì:
$$k = n \cdot \sum^{n}_{i=1} i! = \frac {n!}{(n-1)!} \cdot \sum^{n}_{i=1} i! = \frac {n! + \frac {n!}{2!} + \ldots + n + 1}{(n-1)!}$$

• $n = 1 \implies k \in \mathbb Z$
• $n = 2 \implies k \in \mathbb Z$
• $n = 3 \implies k \in \mathbb Z$
• $n > 3 \implies k \not\in \mathbb Z$, thật vậy:

Khi ấy, mẫu số $(x-1)! \ge 3! \implies 3! \mid (x-1)!$
và tử số không chia hết cho $3$ do

• $3 \mid n \implies TS \equiv 1 \pmod 3$

$\cdots$

• Các trường hợp còn lại tương tự

Kết luận: $\boxed{n = 1 \lor n = 2 \lor n = 3}$