stronger steps 99

$\leftrightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\rightarrow yz=3$

Xét các TH là ra.

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ . Kẻ $EF || BC$ và $EF$ nằm trên cung $BC$ không có $A$ sao cho $AE$ nằm giữa $AB$ và $AF$ . Gọi $H$ là trực tam giác $ABC$ . Kéo dài $FH$ cắt $(O)$ ở $G$ . Gọi $L$ là tam đường tròn ngoại tiếp tam giác $AGH$ . 

 

b) Giả sử $(L)$ cắt $AB,AC$ ở $N,M$ . Chứng minh $MN$ vuông góc với $AF$

 

Gọi BP là đường cao của $\Delta ABC\rightarrow \widehat{PHM}+\widehat{HPM}=90^{\circ}\rightarrow \widehat{PHM}+\widehat{HGA}=90^{\circ}$ MÀ THEO PHẦN A TA CÓ:$\widehat{HAK}+\widehat{AGH}=90^{\circ}$$\rightarrow \widehat{MHP}=\widehat{HAK}$

Do EF song song với BC nên cung BF =cung CE$\rightarrow$$ \widehat{BAF}= \widehat{KAC}$

$\fn_cm \rightarrow \widehat{BAF}+\widehat{ANM}=\widehat{KAC}+\widehat{AHM}=\widehat{HAM}+\widehat{AHM}=90^{\circ}\rightarrow $ĐPCM

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ . Kẻ $EF || BC$ và $EF$ nằm trên cung $BC$ không có $A$ sao cho $AE$ nằm giữa $AB$ và $AF$ . Gọi $H$ là trực tam giác $ABC$ . Kéo dài $FH$ cắt $(O)$ ở $G$ . Gọi $L$ là tam đường tròn ngoại tiếp tam giác $AGH$ . 

a) Chứng minh $A,L,E$ thẳng hàng .

 

Gọi đường trung trực của AG $\cap$ AE tại K.$\rightarrow \Delta KAG$ cân tại K$\rightarrow 2\widehat{GAK}+\widehat{AKG}=90^{\circ}$(1)

Do AH vuông góc với BC nên AH vuông góc với EF

$\rightarrow \widehat{FEA}+\widehat{HAE}=90^{\circ}\rightarrow \widehat{HAE}+\widehat{AGH}=90^{\circ}\rightarrow \widehat{KAE}+\widehat{AGH}=90^{\circ}$

Xét $\Delta$AGH có: $\widehat{GAK}+\widehat{GHA}=90^{\circ}$ kết hợp với (1) $\rightarrow \widehat{GKA}=2\widehat{GHA}$

TỪ ĐÓ TA CÓ ĐPCM

Cho n>1 và n+2 các số nguyên dương:

$1\leq a_{1}< a_{2}< a_{3}< ...< a_{n+2}\leq 3n$

Chứng minh rằng tồn tại hai số $a_{i};a_{j}$  thỏa mãn:  $n< a_{i}-a_{j}< 2n$

Xét 3 tập hợp:A{1,2,...,n} ; B{n+1,n+2,...,2n} ;C{2n+1,2n+2,...,3n}

Đặt k=3n-$a_{n+2}$ $(0\leq k\leq 2n-2)(do   a_{n+2}\geq n+2)$

Xét dãy (*) sau:$b_{1}=k+a_{1},b_{2}=k+a_{2},...,b_{n+2}=k+a_{n+2}$

$\rightarrow b_{n+2}=3n$

  Nếu tồn tại trong dãy (*) 1 số $b_{i}$ mà $n\leq b_{i}\leq 2n$

$\rightarrow n\leq k+a_{i}\leq 2n\rightarrow n\leq 3n-a_{n+2}+a_{i}\leq 2n\rightarrow 2n\geq a_{n+2}-a_{i}\geq n$(đpcm)

  Nếu không tồn tại trong dãy (*) 1 số $b_{i}$ mà $n\leq b_{i}\leq 2n$

Xét các cặp số sau : (1,2n);(2,2n+1);...(n,3n-1) có hiệu của mỗi cặp là 2n-1

Do tập A và C không có quá n phần tử nên có không quá n số $b_{i}$$\epsilon$ tập A và có không quá n số $b_{j}$$\epsilon$ tập C mà trong dãy (*) có n+1 số (trừ $b_{n+2}=3n$) nên tồn tại ít nhất 1 cặp như trên.

Từ đó suy ra đpcm

 Bài 2.$a^{2}+b^{2}+c^{2}=9-2(ab+bc+ca)$ biến đổi tương đương ta cần cm:$2(ab+ac+bc)+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 9 (1)$

$\left ( ab+bc+ca \right )^{2}\geq 3abc(a+b+c)=9abc\rightarrow ab+bc+ca\geq 3\sqrt{abc}$

(1)$\leftrightarrow 3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+\frac{3}{abc} \geq 9$ (điều này luôn đúng )