stronger steps 99

Hãy tìm tất cả các bộ 3 số tự nhiên (x,y,n) thỏa mãn hệ thức:

$\frac{x!+y!}{n!}=3^{n}$

Cho $A\subset Z$ có thỏa mãn:

i)Nếu a,b$\epsilon A$ thì a+b$\epsilon A$, 2a$\epsilon A$

ii)A chứa cả số âm và dương

C/M: nếu a,b$\epsilon A$ thì a-b$\epsilon A$

Cho E={1,2,3,4,5} và $E=A\bigcup B$.CM: 1 trong 2 tập A hoặc B có 2 phần tử có hiệu = 1 phần tử trong tập đó

Cho 1 hình vuông có cạnh 4cm được chia thành 16 ô vuông,mỗi ô vuông có cạnh 1 cm.Tại mỗi một trong 15 ô nào đó ta đánh dấu (+),ô còn lại đánh dấu (-).Những dấu ở các ô vuông có thể thay đổi đồng thời theo một hàng,một cột hoặc theo một đường chéo.Có khả năng sau hữu hạn lần đổi dấu theo nguyên tắc trên dấn đến tất cả các ô đều có dấu (+) hay không?

Cho a,b,c là các số thực không âm sao cho không có 2 số nào đồng thời =0

Chứng minh rằng: $\sum \frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+bc}\geq 6$

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ . Kẻ $EF || BC$ và $EF$ nằm trên cung $BC$ không có $A$ sao cho $AE$ nằm giữa $AB$ và $AF$ . Gọi $H$ là trực tam giác $ABC$ . Kéo dài $FH$ cắt $(O)$ ở $G$ . Gọi $L$ là tam đường tròn ngoại tiếp tam giác $AGH$ . 

 

b) Giả sử $(L)$ cắt $AB,AC$ ở $N,M$ . Chứng minh $MN$ vuông góc với $AF$

 

Gọi BP là đường cao của $\Delta ABC\rightarrow \widehat{PHM}+\widehat{HPM}=90^{\circ}\rightarrow \widehat{PHM}+\widehat{HGA}=90^{\circ}$ MÀ THEO PHẦN A TA CÓ:$\widehat{HAK}+\widehat{AGH}=90^{\circ}$$\rightarrow \widehat{MHP}=\widehat{HAK}$

Do EF song song với BC nên cung BF =cung CE$\rightarrow$$ \widehat{BAF}= \widehat{KAC}$

$\fn_cm \rightarrow \widehat{BAF}+\widehat{ANM}=\widehat{KAC}+\widehat{AHM}=\widehat{HAM}+\widehat{AHM}=90^{\circ}\rightarrow $ĐPCM

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ . Kẻ $EF || BC$ và $EF$ nằm trên cung $BC$ không có $A$ sao cho $AE$ nằm giữa $AB$ và $AF$ . Gọi $H$ là trực tam giác $ABC$ . Kéo dài $FH$ cắt $(O)$ ở $G$ . Gọi $L$ là tam đường tròn ngoại tiếp tam giác $AGH$ . 

a) Chứng minh $A,L,E$ thẳng hàng .

 

Gọi đường trung trực của AG $\cap$ AE tại K.$\rightarrow \Delta KAG$ cân tại K$\rightarrow 2\widehat{GAK}+\widehat{AKG}=90^{\circ}$(1)

Do AH vuông góc với BC nên AH vuông góc với EF

$\rightarrow \widehat{FEA}+\widehat{HAE}=90^{\circ}\rightarrow \widehat{HAE}+\widehat{AGH}=90^{\circ}\rightarrow \widehat{KAE}+\widehat{AGH}=90^{\circ}$

Xét $\Delta$AGH có: $\widehat{GAK}+\widehat{GHA}=90^{\circ}$ kết hợp với (1) $\rightarrow \widehat{GKA}=2\widehat{GHA}$

TỪ ĐÓ TA CÓ ĐPCM

 Bài 2.$a^{2}+b^{2}+c^{2}=9-2(ab+bc+ca)$ biến đổi tương đương ta cần cm:$2(ab+ac+bc)+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 9 (1)$

$\left ( ab+bc+ca \right )^{2}\geq 3abc(a+b+c)=9abc\rightarrow ab+bc+ca\geq 3\sqrt{abc}$

(1)$\leftrightarrow 3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+\frac{3}{abc} \geq 9$ (điều này luôn đúng )

bài 6: Ta phân tích $\frac{1}{xyz}= \frac{4}{4xyz}=\frac{x+y+z}{4xyz}= \frac{1}{4xy}+\frac{1}{4yz}+\frac{1}{4xz}$ mà ta có:$\frac{1}{x^{2}+4yz}< \frac{1}{4yz}$ tương tự ta suy ra đpcm

Cho n điểm $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ được tô bởi 5 màu($n\geq 5$).Có bao nhiêu cách xếp sao cho 2 điểm kề nhau tô màu khác nhau?

cho a,b,c >0. CMR : $\sum \frac{\left ( 2a+b+c \right )^{2}}{2a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\leq 8$

$\sqrt{\bar{abc}}=1+\sqrt{\bar{acb}}\Leftrightarrow \bar{abc}=1+2\sqrt{\bar{acb}}+\bar{acb}\Leftrightarrow 9(b-c)=1+2\sqrt{\bar{acb}}$.Ta thấy vế phải lẻ nên vế trái lẻ,từ đó suy ra b-c lẻ

Ta có: $2\sqrt{\bar{acb}}\geq 2\sqrt{100}=20\Rightarrow 9(b-c)=1+2\sqrt{\bar{acb}}\geq 21\Rightarrow b-c\geq 3$

Mặt khác:$9(b-c)=1+2\sqrt{\bar{acb}}\leq 1+2\sqrt{999}< 65\Rightarrow b-c\leq 7$

Suy ra $3\leq b-c\leq 7$

Mà b-c lẻ $\Rightarrow b-c\epsilon{3,5,7}$

*Xét b-c=3 $\Rightarrow \bar{acb}=169$(thỏa mãn)

*xét b-c =5$\Rightarrow \bar{acb}=484$(không thỏa mãn)

*xét b-c=7$\Rightarrow \bar{acb}=961$(không thỏa mãn)

Vậy (a,b,c)=(1,9,6)

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 (1)& & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y(2) & & \end{matrix}\right.$$

 

(1)$\leftrightarrow 2x^{2}-5xy+3y^{2}=0\leftrightarrow 2x^{2}-2xy-(3xy-3y^{2})=0\leftrightarrow 2x(x-y)-3y(x-y)=0\leftrightarrow (2x-3y)(x-y)=0\leftrightarrow$ x=y hoặc 2x=3y

 *TH1: x=y

  Thay vào (2) ta được: $4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0\leftrightarrow x^{2}-x+\frac{1}{3}=0\leftrightarrow x^{2}-x+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=0\leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{12}=0$(vô lí)

*TH2:2x=3y $\leftrightarrow$ $4x^{2}=9y^{2},6x=9y$

 Thay vào (2) ta được: $9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y\leftrightarrow (9y^{2}-6y+1)-y^{2}=0\leftrightarrow (3y-1)^{2}-y^{2}=0\leftrightarrow (2y-1)(4y-1)=0\leftrightarrow$ y=$\frac{1}{2}$ hoặc y=$\frac{1}{4}$

 +y=$\frac{1}{2}$$\leftrightarrow x=\frac{3}{4}$

 +y=$\frac{1}{4}$$\leftrightarrow x=\frac{3}{8}$

Vậy (x,y)=$(\frac{3}{4} ;\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4})$

______________________________________

$d = 10$

$ S = 44$

Nếu $m>1$ lẻ mà suy ra khẳng định trên mình nghĩ là không đúng vì bạn còn chưa xét trường hợp ngoại lệ là $k=0$.

ukm.sau lúc nộp bài mình mới nhận ra cái đấy nhưng mà tại mình không đọc kĩ điều lệ thi nên không biết là được gửi lại bài khác

* xét m chẵn:$\Rightarrow$ $44n^{3}+11n^{2}+10n+2$ phải là 1 số CP
Ta có: đặt A=$44n^{3}+11n^{2}+10n+2$ = $44n^{3}+12n^{2}+8n+2-n^{2}+2n$=$4(11n^{3}+3n^{2}+2n)+3-(n-1)^{2}$
do $a^{2}\equiv 0,1$(mod 4) $\Rightarrow 3-(n-1)^{2}\equiv 3,2$(mod 4)$\Rightarrow$ A$\equiv 3,2$(mod 4) (vô lí)
*xét m lẻ :

+m>1 : $44n^{3}+11n^{2}+10n+2\vdotsn^{2}+1$ (*)
Mặt khác:$44n(n^{2}+1)\vdots n^{2}+1$(1)
$11(n^{2}+1)\vdots n^{2}+1$(2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $44n^{3}+11n^{2}+44n+11\vdots n^{2}+1$(**)
Từ (*) và (**) $\Rightarrow 34n+9\vdots n^{2}+1$ $\Rightarrow (34n+9)\times (34n-9)\vdots n^{2}+1 \Rightarrow 34^{2}n^{2}-81\vdots n^{2}+1 \Rightarrow 34^{2}(n^{2}+1)-1237\vdots n^{2}+1$ $\Rightarrow 1237\vdots n^{2}+1\Rightarrow n^{2}+1 \in \left \{ 1 \right \}$ $\Rightarrow n=0\Rightarrow N^{m}=2\Rightarrow m=1$
Vậy m=1

Hai chỗ tô màu đỏ chưa chính xác. Trừ điểm Latex. Điểm bài: 7

S = 17 + 3*7 = 38