haitienbg

Tìm 3 số nguyên dương  $x\leq y\leq z$

thoả mãn:

$$x^3(y^3+z^3)=2012(xyz+2)$$

MOD. Công thức toán phải kẹp bởi hai dấu đô la.

Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

 thỏa mãn:

1.  $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$

với mọi $x,y\in\mathbb{R}$

2.  $f(x)\leq e^{x}-1$ 

với mỗi $x\in\mathbb{R}$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=x-y\\ \sqrt[4]{x}+2\sqrt[4]{y}=10 \end{matrix}\right.$

Trên bảng ô vuông cố định có kích thước 3x3 người ta xếp một số viên sỏi sao cho mỗi ô vuông có nhiều nhất một viên sỏi. Mỗi cách xếp sỏi được tính điểm như sau, nếu tổng số sỏi trên một hàng (hoặc trên một cột hoặc trên một trong hai đường chéo) là một số lẻ thì được tính một điểm. Bảng không có sỏi ứng với 0 điểm, bảng xếp kín 9 viên sỏi ứng với 8 điểm.

a) Tồn tại hay không cách xếp sỏi sao cho ô chính giữa bảng không có sỏi và số điểm tương ứng với cách xếp đó là 8.

b) Chứng minh rằng số cách xếp sỏi với điểm số là một số chẵn bằng số cách xếp sỏi với điểm số là một số lẻ

Cho $a,b,c> 0,abc=1$. Chứng minh rằng :

$\frac{(3a-1)^2}{2a^2+1}+\frac{(3b-1)^2}{2b^2+1}+\frac{(3c-1)^2}{2c^2+1}\geq 4$

Cho dãy số $(x_{n})$ thoả mãn $\left\{\begin{matrix} x_{1}=2 \\ x_{n}=\tfrac{x_{1}+2x_{2}+...+(n-1)x_{n-1}}{n(n^2-1)} , n\geqslant 1,n\in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$

Tìm $limu_{n}$ với$u_{n}=(n+1)^3x_{n}$

Cho $a,b,c\in \left [ 0;\tfrac{1}{2} \right ];a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$a^3+b^3+c^3+4abc\leqslant \tfrac{9}{32}$

Tìm tất cả các hàm số $f:Z\rightarrow Z$ thoả mãn điều kiện:

$f\left ( m+n \right ) + f\left ( mn-1 \right )=f(m)f(n)+2, \forall m,n\in \mathbb{Z}$