luongkylinh

Với $a=1;b=c=2$ bài toán của bạn sai

Theo mình đề đúng phải là $\sum \sqrt{\frac{a^{3}+abc}{b+c}}\geq a+b+c$. Chứng minh như sau

Áp dụng $Holder$ ta có:

$(\sum \sqrt{\frac{a^{3}+abc}{b+c}})(\sum \sqrt{\frac{a^{3}(b+c)}{a^{2}+bc}})(a+b+c)\geq (a+b+c)^{3}$

Quy về chứng minh $\sum \sqrt{\frac{a^{3}(b+c)}{a^{2}+bc}}\leq a+b+c$

Lại theo $C.B.S$ thì $\sum \sqrt{\frac{a^{3}(b+c)}{a^{2}+bc}}\leq \sqrt{(a+b+c)(\sum \frac{a^{2}(b+c)}{a^{2}+bc})}$

Lại quy vê chứng minh $\sum \frac{a^{2}(b+c)}{a^{2}+bc}\leq a+b+c<=>\sum \frac{a(a-b)(a-c)}{a^{2}+bc}\geq 0$

Điều này luôn đúng vì giả sử $a\geq b\geq c=>\frac{c(c-a)(c-b)}{c^{2}+ab}\geq 0;\frac{a(a-b)(a-c)}{a^{2}+bc}+\frac{b(b-a)(b-c)}{b^{2}+ac}\geq 0 <=>(a-b)(a+b-c)\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=b;c=0$ và các hoán vị $Q.E.D$

CHUẨN THÌ NGẠI GÌ LIKE

Tiện thể bạn giải thích dùm mình BĐT này luôn đi !!

Với $a=1;b=c=2$ bài toán của bạn sai

Theo mình đề đúng phải là $\sum \sqrt{\frac{a^{3}+abc}{b+c}}\geq a+b+c$. Chứng minh như sau

Áp dụng $Holder$ ta có:

$(\sum \sqrt{\frac{a^{3}+abc}{b+c}})(\sum \sqrt{\frac{a^{3}(b+c)}{a^{2}+bc}})(a+b+c)\geq (a+b+c)^{3}$

Quy về chứng minh $\sum \sqrt{\frac{a^{3}(b+c)}{a^{2}+bc}}\leq a+b+c$

Lại theo $C.B.S$ thì $\sum \sqrt{\frac{a^{3}(b+c)}{a^{2}+bc}}\leq \sqrt{(a+b+c)(\sum \frac{a^{2}(b+c)}{a^{2}+bc})}$

Lại quy vê chứng minh $\sum \frac{a^{2}(b+c)}{a^{2}+bc}\leq a+b+c<=>\sum \frac{a(a-b)(a-c)}{a^{2}+bc}\geq 0$

Điều này luôn đúng vì giả sử $a\geq b\geq c=>\frac{c(c-a)(c-b)}{c^{2}+ab}\geq 0;\frac{a(a-b)(a-c)}{a^{2}+bc}+\frac{b(b-a)(b-c)}{b^{2}+ac}\geq 0 <=>(a-b)(a+b-c)\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=b;c=0$ và các hoán vị $Q.E.D$

CHUẨN THÌ NGẠI GÌ LIKE

Không biết mình có nhầm không nhỉ !?
Nhưng :
$\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{3}+abc}{b+c}}.\sqrt{\frac{a^{3}(b+c)}{a^{2}+bc}}.a}\neq a$
Nên phần Holder của bạn bị sai rồi !?

Phải là Cho $a+b+c=1007$ và chứng minh $\sum \sqrt{2014a+\frac{(b-c)^{2}}{2}}\leq 2014\sqrt{2}$ chứ

 

$\sum \sqrt{2014a+\frac{(b-c)^{2}}{2}}=\sum \sqrt{2a(a+b+c)+\frac{(b-c)^2}{2}}=\sum \sqrt{\frac{4a^2+4ab+4ac+b^2-2bc+c^2}{2}}\leq \sum \sqrt{\frac{(2a+b+c)^2}{2}}=2014\sqrt{2}$

Cho mình hỏi dấu $"="$ xảy ra khi nào !!??

 

Bài toán:

 

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ , gọi $AB=p$ ; $AC=q$. Tính:

 

$|\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{BC}|$

 

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$ 

 

Ta có :
$\left | (\vec{AB}+\vec{BC})+\vec{AC} \right |=\left | \vec{AC} +\vec{AC}\right |=\left | 2.\vec{AC} \right |=2q$
Không biết bài này có lộn ko mà hình như dư dữ liệu !

Bạn cũng có thể xem bài 249 sách Nâng cao phát triển toán 8 tập 2 ( chính là bài đó luôn đó )

ờ nên tui thấy đề bài như lm rồi