whitemiss

Mọi người giúp em mấy bài này với, em mới học lớp 8 thôi:

1/ PTĐTTNT

a/ $(x^2-3)^2+16$

b/ $(x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a)+4$

c/$(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)^2+(xy+yz+xz)^2$

d/$2(x^4+y^4+z^4)-(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)^2+(x+y+z)^4$

e/$(a+b+c)^3-4(a^3+b^3+c^3)-12abc$

f/$3(x^4+x^2+1)-(x^2+x+1)^2$

g/$x^8+x^7+1$

h/$x^7+x^5+1$

l/ $x^3+3xy+y^3-1$

2/ PTĐTTNT

a/ $4x^4+4x^3+5x^2+2x+1$

b/$(x+1)^4+(x^2+x+1)^2$

c/$x^8+98x^4+1$

d/$x^8+14x^4+1$

4/ Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange

5/ Đặt $a_{101}=a_{1}, a_{102}=a_{2}$ và S=$S=a_{1}^2a_{2}+a_{2}^2a_{3}+...+(a^{100})^2a_{1}$

Sử dụng bất đẳng thức Cạuchy-Schwarz, ta được:

$9S^2=\left \lfloor \sum_{k=1}^{100}a_{k+1}(a_{k}^2+2a_{k+1}a_{k+2}) \right \rfloor^2$ $\leq \left ( \sum_{k=1}^{100}a_{k+1}^2 \right )\left \lfloor \sum_{k=1}^{100}(a_{k}^2+2a_{k+1}a_{k+2})^2 \right \rfloor=\sum_{k=1}^{100}(a_{k}^2+2a_{k+1}a_{k+2})^2=\sum_{k=1}^{100}(a_{1}^4+4a_{k}^2a_{k+1}a_{k+2}+4a_{k+1}^2a_{k+2}^2)$ (1)

Mặt Khác, theo bất đẳng thức AM-GM, ta lại có:

$4a_{k}^2a_{k+1}a_{k+2} \leq 2a_{k}^2(a_{k+1}^2+a_{k+2}^2)$ (2)

Kết hợp (1) và (2) , ta suy ra:

$9S^2\leq \sum_{k=1}^{100}\left \lceil a_{k}^4+2a_{k}^2(a_{k+1}^2+a_{k+2}^2)+4a_{k+1}^2a_{k+2}^2 \right \rceil=\sum_{k=1}^{100}(a_{k}^4+6a_{k}^2a_{k+1}^2+2a_{k}^2a_{k+2}^2)$

Sử dụng đánh giá:

$\sum_{k=1}^{100}(a_{k}^4+2a_{k}^2a_{k+1}^2+2a_{k}^2a_{k+2}^2)\leq \left ( \sum_{k=1}^{100}a_{k}^2 \right )=1$

$\sum_{k=1}^{100}a_{k}^2a_{k+1}^2\leq \left ( \sum_{i=1}^{50}a_{2i-1}^2 \right )(\sum_{j=1}^{50}a_{2j}^2)$

Ta được:

$9S^2\leq 1+4(\sum_{i=1}^{50}a_{2i-1}^2)(\sum_{j=1}^{50}a_{2j}^2)\leq 1+(\sum_{i=1}^{50}a_{2i-1}^2+\sum_{j=1}^{50}a_{2j}^2=2$

Từ đây suy ra

$S\leq \frac{\sqrt{2}}{3}< \frac{12}{25}$

Ta có điều phải chứng minh!

thanks bạn nhé!