quocbaolqd11

Cho hàm số $g(x)$ liên tục và dương trên đoạn $[0,1]$. Tìm đạo hàm của hàm số: $f(x)=\int_{0}^{1} g(t)e^{-tx}dt$, chứng minh $|f^{(k)}(\frac{x+y}{2})| \ge 2^k|f(\frac{x+y}{2})|$ với $f^{(k)}$ là đạo hàm cấp $k$ của $f$.

Cho ma trận $A,B,C$ là các ma trận vuông cấp $n$ sao cho $C$ giao hoán với $A$ và $B$, $C^2=I_n$ và:
$AB=2(A+B)C$. Chứng minh:
1. $AB=BA$ .
2. cho thêm điều kiện $A+B+C=0$. Chứng minh: $rank(A-C)+rank(B-C)=n$.

cho tập hợp $A=\{1,2,...,2011^{2012}\}$. Chứng minh rằng tồn tại 1 hoán vị của A là $B=\{a_1,a_2,...,a_{2011^{2012}}\}$ sao cho với mọi $1 \le i<j<k \le 2011^{2012}$ thì $a_i+a_j \neq 2a_j$.

Cho $m, n$ nguyên dương , $S = \{ 1, 2, ... , 2014 \}$ . Tìm số tập con của $S$ có $m$ số chẵn, $n$ số lẻ và không chứa $2$ số liên tiếp.

đề thi chọn đội tuyển khtn vừa rồi. Mình thấy có lời giải của 1 bạn trên diễn đàn nhưng chưa chính xác lắm vì lời giải ấy không đề cập gì đến $m, n$. Mong các thành viên của diễn đàn và các bạn khtn thi đợt vừa rồi giúp đỡ.

Cho tập hợp $ A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\} .$ Có thể phân hoạch $A$ thành $3$ tập con rời nhau, mỗi tập gồm $5$ phần tử sao cho trong mỗi tập không có số nào bằng tổng của hai số trong tập đó  ( hai số có thể giống nhau) được không (ví dụ:tập $ B=\{ 1,2,6,10,15 \} $ thì không thỏa mãn do $ 2=1+1$ ? Hãy chứng minh bài toán tổng quát với $3n$ (n lẻ ). Bài này mình có cách làm xét quá nhiều trường hợp, liệt kê ra chắc cũng phải hơn trang giấy, mong mọi người giúp đỡ cách hay hơn.