xxSneezixx

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}-\frac{3y}{2}+\frac{y^{2}}{x^{2}} & =\frac{7x}{2y} & \\ y^{2}-\frac{3x}{2}+\frac{x^{2}}{y^{2}} & =\frac{7y}{2x} & \end{matrix}\right.$

Giải: 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-\frac{3y}{2}+\frac{y^{2}}{x^{2}} & =\frac{7x}{2y} (1) & \\ y^{2}-\frac{3x}{2}+\frac{x^{2}}{y^{2}} & =\frac{7y}{2x} (2) & \end{matrix}\right. (x, y \neq 0) $

$(1)- (2)\Leftrightarrow x=y \vee x+y +\frac{3}{2} - \frac{(x+y)(x^2 +y^2)}{x^2 y^2}= \frac{7(x+y)}{2xy}(3)$

$(1)+(2)\Leftrightarrow x^2 +y^2 -\frac{3}{2}(x+y) + \left(\frac{x^2}{y^2 }+ \frac{y^2 }{x^2} \right )= \frac{7}{2}\left(\frac{x^2 +y^2}{xy}\right)( 4) $

Đặt $S= x+y, P= xy ( S^2 -4P \geq 0)  $, ta có: 

$(3)\wedge (4)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-S^3 -\frac{3}{2}PS + P^2S+ \frac{3}{2}P^2 =0 (5) \\ S^4 - \frac{15}{2}PS^2 +P^2S^2- \frac{3}{2}P^2S +9P^2 - 2P^3 =0  (6)\end{matrix}\right.$

$S(5)+ (6)\Leftrightarrow P= \frac{9}{2}\vee P=0(L) \vee S^2 = P(L)$

$\bullet x =y, (1)\Leftrightarrow x= \frac{5}{2 }\vee x= -1$

$\bullet P = \frac{9}{2}, (5) \Leftrightarrow x= 3 \vee x =\frac{3}{2}$

Thử lại thấy thỏa. 

Vậy $\left(x,y \right )= \left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right), (-1,-1), \left(\frac{3}{2},3\right ), \left(3 ,\frac{3}{2}\right )$

p/s : ko biết có cách nào ngắn hơn ko :v 

Giải PT: $x+\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+2}}=\sqrt{2}$

Giải: 

Đặt $a=\sqrt {x^2 +2 }, b= x$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} ab + 2b = a\sqrt{2} (1) \\ a^2 -2 = b^2 (2) \end{matrix}\right.$

$(1)\Leftrightarrow b= \frac{a\sqrt{2}}{a+2}(3)$

Thế $(3) $ vào $(2)$, ta được: $(2)\Leftrightarrow a^4 + 4a^3 -8a -8 =0 $

$\Leftrightarrow (a^2 +2a )^2- 4(a^2 + 2a) -8 =0$

Tới đây thì giải ra rồi thử lại là xong !! 

Mình mong các mods sẽ xem xét TH ở đây. Theo mình, đây ko khác gì quảng cáo. 

Giải bất phương trình sau:$y^2+20\sqrt{(y+2)^3}\geq 14y+24+9\sqrt{y+2}$

Giải

$y^2+20\sqrt{(y+2)^3}\geq 14y+24+9\sqrt{y+2}(1)$

Đặt $x= \sqrt{y+2}(x\geq 0) $, ta có : 

$(1)\Leftrightarrow x^4+ 20x^3 - 18x^2 -9x +8\geq 0$

Còn lại thì b tham khảo ở đây 

 

Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-y^{2}=4x+6y-1\\   x^{4}+y^{4}-5x^{2}-5y^{2}=2x^{2}y^{2}-10xy-1 \end{matrix}\right. $$

 

Giải: 

$\left\{\begin{matrix}x^{2}-y^{2}=4x+6y-1\\   x^{4}+y^{4}-5x^{2}-5y^{2}=2x^{2}y^{2}-10xy-1 \end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}(x-2)^2 =(y+3)^2-6\\(x^2-y^2)^2 -5(x-y)^2 =-1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}(x-y-5)(y+x+1)= -6\\(x-y)^2\left[(x+y)^2-5 \right ]=-1\end{matrix}\right.$

Đặt $a= x-y, b = x+y$, ta có: 

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}(a-5)(b+1)= -6\\a^2\left(b^2-5 \right )=-1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}b= \frac{a+1}{5-a}\\-4a^4 +52x^3 - 123x^2 -10x+25=0\end{matrix}\right.$

pt bậc 4 kia nghiệm khá xấu nên ..

 

$15. \left\{\begin{matrix} 2-\sqrt{x^{2}y^{4}+2xy^{2}-y^{4}+1}=2\left ( 3-\sqrt{2}-x \right )y^{2} & \\ \sqrt{x-y}+x=3 & \end{matrix}\right.$

Giải: 

$ \left\{\begin{matrix} 2-\sqrt{x^{2}y^{4}+2xy^{2}-y^{4}+1}=2\left ( 3-\sqrt{2}-x \right )y^{2}(1) \\ \sqrt{x-y}+x=3(2) \end{matrix}\right.$

Ta có $(x;y ) = (0;0)$ ko la nghiem cua hpt 

 Đặt $a= xy^2 +1, b= y^2 (a,b > 0) $

 $(1)\Leftrightarrow\sqrt{a^2- b^2}= 2(3-\sqrt{2})b- 2a(3) $

Bình phương hai vế ta được : 

$(3)\Leftrightarrow b= \frac{a}{3}\vee b=-\frac{3a}{8\sqrt{2}-15} $

Lại có : $\frac{a}{b}= x$

Từ đây thế và thử lại là xong

 

8) $\left\{\begin{matrix}4x^2y^2-6xy-3y^3=-9\\6x^2y-y^2-9x=0\end{matrix}\right.$

 

 

 

Giải:

$\left\{\begin{matrix}4x^2y^2-6xy-3y^3=-9\\6x^2y-y^2-9x=0\end{matrix}\right. (I)$

Rõ ràng $(x;y)=(0;0)$ ko là nghiệm của hpt

$(I)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4x^2y^2-6xy-3y^3=-9(1)\\6x^2y^2-y^3-9xy=0(2)\end{matrix}\right.$

$(2)-(1)\Leftrightarrow 2x^2y^2 +2y^3 -3xy -9=0$

$\Leftrightarrow x= \frac{9\pm\sqrt{81+24y^3}}{12y}(3)$

Từ $(2)$ ta lại có: $\Leftrightarrow x= \frac{3\pm\sqrt{81-16y^3}}{4y}(4)$

$(3)\wedge (4) \Leftrightarrow y= \frac{3\sqrt[3]{49}}{7}$

Thế vào $(1)$ ta có: $\Leftrightarrow x= \frac{\sqrt{105}\pm 7}{4.7^{\frac{2}{3}}}$

Thử lại ta thấy thoả mãn

Vậy $S= \left \{ \frac{\sqrt{105}\pm 7}{4.7^{\frac{2}{3}}}; \frac{3\sqrt[3]{49}}{7} \right \}$

Cho hệ:

$\left\{\begin{matrix}  x^{2}+y^{2}+2x <2& \\ x-y+m=0& \end{matrix}\right.$

Tìm m để hệ có nghiệm

 

@MOD : chú ý cách đặt tiêu đề

nếu coi phương trình đầu tiên là phương trình đường tròn thì bạn giải tiếp được không?

Giải:

$\left\{\begin{matrix}  x^{2}+y^{2}+2x <2 \\ x-y+m=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}(x+1)^2+y^{2} <3(1)\\ y=x+m(2)\end{matrix}\right. (I)$

Từ bpt $(1)$, ta nhận thấy nghiệm của nó là diện tích của đường tròn $(C): (x+1)^2 +y^2 =3 $ không tính đường tròn này

Như vậy, hệ $(1)$ có nghiệm khi pt(2) tạo 2 giao điểm vs $(C)$ hay là pt $(2)$ nằm trong giới hạn của 2 đg` tt vs $(C)$ cùng phương vs $(2)$

Gọi $I(-1;0)$ là tâm của $(C)$ , $(d): y=x+k$

Ta có: $d[I, (d)]=\frac{\left | -1+k \right |}{\sqrt{2}}$

Để $(d)$ la tt cua $(C)\Leftrightarrow d[I,(d)]= R= \sqrt{3}$

$\left\{\begin{matrix} x^2y+xy^2+x-5y=0 & & \\2xy+y^2-5y+1=0 & & \end{matrix}\right.$

Giải:

$\left\{\begin{matrix} x^2y+xy^2+x-5y=0\\2xy+y^2-5y+1=0 \end{matrix}\right.$

Dễ thấy $\left(x;y\right)= (0;0)$ ko là nghiệm của hpt

$\left\{\begin{matrix} x^2y^2+xy^3+xy-5y^2=0(1) \\2x^2y^2+xy^3-5xy^2+xy=0(2)\end{matrix}\right.$

$(2)-(1)\Leftrightarrow x^2 -5x + 5 =0$

Từ đây ta chỉ còn những pt bậc 2 thôi

Cho hệ:

$\left\{\begin{matrix}  x^{2}+y^{2}+2x <2& \\ x-y+m=0& \end{matrix}\right.$

Tìm m để hệ có nghiệm

 

@MOD : chú ý cách đặt tiêu đề

Giải:

$\left\{\begin{matrix}x^2 +y^2 +2x <2 \\x-y+m =0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2 +x(m+1)-1 +\frac{m^2}{2}<0 \\x+m=y\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow -1-\sqrt{6}<m< -1+ \sqrt{6}$

chứng minh với mọi n lẻ, a>0 thì phương trình sau có nghiệm duy nhất 

$(n+1)x^{n+2} = a^{n+2} + 4(n+2)x^{n+1}$

Giải:

$f(x)= (n+1)x^{n+2}- 4(n+2)x^{n+1 }- a^{n+2}$

$\Rightarrow f'(x)= (n+1)(n+2)x^n(x-4)$

$f'=0\Leftrightarrow x=0\vee x=4$

Ta có: dấu của $f '$ phụ thuộc vào $x^n(x-4)$

Với $n $ lẻ, ta có bảng biến thiên

$$\begin{array}{c|ccccccccc}
x & -\infty & \;  & 0 & \; & 4 &\; & +\infty\\
\hline
f' & \; &  + & 0 & - & 0 & + &\; \\
\hline
& \; & \; &  -a^{n+2}  & \; & \; & \; & \; +\infty \\
f & \; & \nearrow & \;  & \searrow & \; & \nearrow & \; \\
&-\infty & \; & \; &  \; & -4^{n+2} & \; & \; \\
\end{array}$$

Từ BBT ta có đpcm

$1/2{({x^2} + x - 1)^2} + 2{x^2} + 2x = 3 + \sqrt {5 + 4x} $

$2/2\sqrt[3]{{{x^3} + 7}} + 1 = \sqrt {1 + 16x + 8{x^2}} $

$3/(2 - x)\sqrt {1 + x}  + (2 + x)\sqrt {1 - x}  + \frac{{16}}{{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} = 12$

 

MOD: Chú ý tiêu đề

Giải: 

$2{({x^2} + x - 1)^2} + 2{x^2} + 2x = 3 + \sqrt {5 + 4x}(x\geq - \frac{5}{4}) (1)$

Đặt $y= x^2 +x-1$

$\Leftrightarrow 2(y^2 + y-1) +1 =  \sqrt {5 + 4x} $

$\Leftrightarrow (y^2 + y -1)^2 + (y^2 + y -1)-1 =x$

Đặt $z= y^2 + y-1 $

Ta có hpt: $\left\{\begin{matrix}y= x^2 +x-1 \\x= z^2 + z-1\\z= y^2 +y-1\end{matrix}\right.$

Xét hàm đại diện $f(t)= t^2 + t-1 (t\geq -\frac{5}{4})$

CMĐ $f(t )$ đơn điệu trên $\left[ -\frac{5}{4}; -\frac{1}{2}\right ], (-\frac{1}{2};+\infty)$

Đến đây ta xét 2 TH và nhận $x=y=z=1$ là nghiệm duy nhất của hệ 

Vậy $S=\left \{ 1 \right \} $

Giải PT:$\frac{11}{x^{2}}-\frac{25}{\left ( x+5 \right )^{2}}= 1$

Giải : 

$\frac{11}{x^{2}}-\frac{25}{\left ( x+5 \right )^{2}}= 1$

$\Leftrightarrow x^4 +10x^3 +39x^2 -110x-275 =0 $

$\Leftrightarrow \left(x^2 -x-5  \right )\left(x^2 +11x+55 \right )=0 $

Tìm m để phương trình sau có nghiệm: $2\sqrt{-x^{2}-2x+3}-(m-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x})+m+1=0$

Giải: 

$2\sqrt{-x^{2}-2x+3}-(m-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x})+m+1=0(1)(-3\leq x\leq 1)$

Đặt $t= \sqrt{x+3}+ \sqrt{1-x} (t>0)$ 

$\Rightarrow t^2-4 = \sqrt{-x^2 -2x +3 }$

$(1)\Leftrightarrow 2(t^2 -4)-(m-1)t+ m+1 =0 $ 

$\bullet\Delta = m^2 - 10m +57 > 0\forall m\in \mathbb{R}$

Suy ra  $\forall m\in \mathbb{R}$, pt đều có 2 nghiệm phân biệt $x_{1,2}= \frac{1}{4}\left(-1+m \pm \sqrt{57 -10m +m^2 } \right )$

Từ đk $-3 \leq x\leq 1 $,  ta có đc với  $m> -2 $ thì pt luôn có nghiệm 

Vậy $m>-2$ là đk của m thỏa YCĐB

Cho $m\geq 2008$. CMR hệ pt sau có không quá 1 nghiệm $$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+19}-\sqrt{y+6}=(m-2008)y+1 & \\ \sqrt{y+19}-\sqrt{x+6}=(m-2008)x+1 & \end{matrix}\right.$$

Giải : 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+19}-\sqrt{y+6}=(m-2008)y+1 (1) \\ \sqrt{y+19}-\sqrt{x+6}=(m-2008)x+1 (2)\end{matrix}\right.$

$(1)- (2)\Leftrightarrow \sqrt{x+19}+ \sqrt{x+6}+ ax=\sqrt{y+19}+ \sqrt{y+6}+ ay (a= m- 2008\geq 0)$

Xét hàm số : $f(t)=\sqrt{t+19}+ \sqrt{t+6}+ at (t\geq -6)$ 

có :

$f'(t)=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{t+19}}+\frac{1}{\sqrt{t+6}}+ 2a \right ) >0 \forall t\in \left[-6;+\infty \right)$

Nhận thấy hàm số  đồng biến trên tập xác định nên suy ra $x=y$

Thay $x=y$ vào $(1)$, ta có : 

$(1)\Leftrightarrow \sqrt{x+19}- \sqrt{x+6}- ax-1=0 $

Xét hàm số: $g(x)=  \sqrt{x+19}- \sqrt{x+6}- ax-1(x\geq -6)$

có :

$g'(x)= \frac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{x+19}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}}- 2a \right)<0 \forall x\in \left[-6;+\infty \right)$

Suy ra  hàm số $g(x)$ nghịch biến nên pt $g(x)=0$ chỉ có 1 nghiệm duy nhất. 

Vậy hpt đã cho chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất.