1. Họ và tên: Đào Thanh Huyền
2. Lớp 7a, trường THCS Cao Viên, huyện Thanh Oai, thành phố Hà Nội
3. Đề: Giải phương trình với x là số nguyên: $\left | x-4 \right |+\left | x-10 \right |+\left | x+101 \right |+\left | x+999 \right |+\left | x+1000 \right |=2013$
4. Đáp án: Áp dụng bất đẳng thức $\left | A \right |+\left | B \right |\geq \left | A+B \right |$ ta có:
$\left | x-4 \right |+\left | x+1000 \right |=\left | 4-x \right |+\left | x+1000 \right |\geq \left | 4-x+x+1000 \right |=\left | 1004 \right |=1004$ (1)
Dấu "=" xảy ra khi $\left ( 4-x \right )\left ( x+1000 \right )\geq 0 \Leftrightarrow -1000\leq x\leq 4$
$\left | x-10 \right |+\left | x+999 \right |=\left | 10-x \right |+\left | x+999 \right |\geq \left | 10-x+x+999 \right |=\left | 1009 \right |=1009$ (2)
Dấu "=" xảy ra khi $\left ( 10-x \right )\left ( x+999 \right )\geq 0\Leftrightarrow -999\leq x\leq 10$
$\left | x+101 \right |\geq 0\forall x$ (3)
Dấu "=" xảy ra khi x=-101
Từ (1) (2) (3) suy ra $\left | x-4 \right |+\left | x-10 \right |+\left | x+101 \right |+\left | x+999 \right |+\left | x+1000 \right |\geq 1004+1009=2013$
Dấu "=" xảy ra khi x=-101 (thỏa mãn các khoảng $-1000\leq x\leq 4$ và $-999\leq x\leq 10$)
Vậy S=$\left \{ -101 \right \}$
(em nộp đề này ở nick daothanhhuyen165 rồi nhưng vì lý do chưa ghi tên và địa chỉ nên em xin gửi lại bài tại nick này ạ, mong diễn đàn chấp nhận)