AzAZ09

cho hỏi bài này là nguyên dương hay nguyên vậy ?

$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y) (1)$

thay x=y vào 1 :$f(2x)+f(0)=4f(x)$

thay $f(x)=0$ $x=y=0$ vào 1 :$f(x)=0$
=>$f(2x)=4f(x)$

thay x=2y vào 1:$f(3x)=9f(x)$===> dự đoán $f(nx)=n^2f(x)$ (n là số nguyên dương)

chứng minh điều này bằng quy nạp khá đơn giản
theo đó $f(1)=f(n.\frac{1}{n})=n^2f(1)\rightarrow f(\frac{1}{n})=\frac{f(1)}{n^2}$

             $f(m)=n^2(f(\frac{m}{n}))\rightarrow f(\frac{m}{n})=\frac{f(m)}{n^2}=\frac{m^2}{n^2}f(1)$

do đó $f(x)=ax^2$ với x thuộc Q(a>0)
chứng minh đơn giản 1 bước nữa ta có bài toán đúng với a thuộc R

vai trò x,y,z không như nhau làm sao giả sử vậy 

phương pháp gien 

Bài 1 là VMO 2012 rồi.
1.Xét Hiệu : $x_{n}-x_{n-1}=\frac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)-x_{n-1}=\frac{2((n+2)-(n-1)x_{n-1})}{3n}$

thử các giá trị đầu tiên , dẫn đến phỏng đoán dãy giảm thực sự.Do đó ta sẽ tìm cách chứng minh $x_{n}-x_{n-1}<0$

Hay $(n+2)-(n-1)x_{n-1}<0$ với mọi $n\geq 3$

xét n=3 bdt đúng
gs :$(n+2)-(n-1)x_{n-1}<0$$\Leftrightarrow x_{n-1}> \frac{n+2}{n-1}$
khi đó : $x_{n}=\frac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)>\frac{n+2}{3n}(\frac{n+2}{n-1}+2)=\frac{n+2}{n-1}> \frac{n+3}{n}$
do đó dãy đã cho là dãy giảm thực sự kể từ số hạng thứ 2.
ngoài ra theo đề bài nó bị chặn dưới ở 0.đặt $limx_{n}=a$

thay vào đề bài tính đc a=1